Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81608 / 20376
↖ ↑ ↗
← N 76.905688°
E 44.143066°		 ← 69.20 m → N 76.905688°
E 44.145813°		 →
↑
69.19 m
↓
↑
69.19 m
↓
N 76.905066°
E 44.143066°		 ← 69.20 m →
4 788 m²		 N 76.905066°
E 44.145813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622623443603516 y=0.155460357666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622623443603516 × 217)
    floor (0.622623443603516 × 131072)
    floor (81608.5)     		tx = 81608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155460357666016 × 217)
    floor (0.155460357666016 × 131072)
    floor (20376.5)     		ty = 20376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81608 / 20376 ti = "17/81608/20376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81608/20376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81608 ÷ 217
    81608 ÷ 131072     		x = 0.62261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20376 ÷ 217
    20376 ÷ 131072     		y = 0.15545654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62261962890625 × 2 - 1) × π
    0.2452392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77044185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15545654296875 × 2 - 1) × π
    0.6890869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16483038684174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77044185} λ = 0.77044185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16483038684174))-π/2
    2×atan(8.71312393104357)-π/2
    2×1.45652689674573-π/2
    2.91305379349146-1.57079632675     		φ = 1.34225747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77044185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.143066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34225747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.905688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81608 KachelY 20376 0.77044185 1.34225747 44.143066 76.905688
    Oben rechts KachelX + 1 81609 KachelY 20376 0.77048979 1.34225747 44.145813 76.905688
    Unten links KachelX 81608 KachelY + 1 20377 0.77044185 1.34224661 44.143066 76.905066
    Unten rechts KachelX + 1 81609 KachelY + 1 20377 0.77048979 1.34224661 44.145813 76.905066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34225747-1.34224661) × R
    1.0860000000168e-05 × 6371000     		dl = 69.1890600010701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34225747-1.34224661) × R
    1.0860000000168e-05 × 6371000     		dr = 69.1890600010701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77044185-0.77048979) × cos(1.34225747) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226554614645243 × 6371000     		do = 69.1956108283929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77044185-0.77048979) × cos(1.34224661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226565192255195 × 6371000     		du = 69.1988415027399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34225747)-sin(1.34224661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226554614645243-0.226565192255195)×R²
    abs(0.77048979-0.77044185)×1.05776099519062e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05776099519062e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05776099519062e-05×40589641000000     		ar = 4787.69103310458m²