Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81608 / 19656
↖ ↑ ↗
← N 77.346257°
E 44.143066°		 ← 66.91 m → N 77.346257°
E 44.145813°		 →
↑
66.90 m
↓
↑
66.90 m
↓
N 77.345655°
E 44.143066°		 ← 66.91 m →
4 476 m²		 N 77.345655°
E 44.145813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622623443603516 y=0.149967193603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622623443603516 × 217)
    floor (0.622623443603516 × 131072)
    floor (81608.5)     		tx = 81608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149967193603516 × 217)
    floor (0.149967193603516 × 131072)
    floor (19656.5)     		ty = 19656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81608 / 19656 ti = "17/81608/19656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81608/19656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81608 ÷ 217
    81608 ÷ 131072     		x = 0.62261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19656 ÷ 217
    19656 ÷ 131072     		y = 0.14996337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62261962890625 × 2 - 1) × π
    0.2452392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77044185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14996337890625 × 2 - 1) × π
    0.7000732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19934495456818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77044185} λ = 0.77044185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19934495456818))-π/2
    2×atan(9.01910364139325)-π/2
    2×1.46037158939502-π/2
    2.92074317879003-1.57079632675     		φ = 1.34994685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77044185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.143066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34994685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.346257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81608 KachelY 19656 0.77044185 1.34994685 44.143066 77.346257
    Oben rechts KachelX + 1 81609 KachelY 19656 0.77048979 1.34994685 44.145813 77.346257
    Unten links KachelX 81608 KachelY + 1 19657 0.77044185 1.34993635 44.143066 77.345655
    Unten rechts KachelX + 1 81609 KachelY + 1 19657 0.77048979 1.34993635 44.145813 77.345655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34994685-1.34993635) × R
    1.05000000001354e-05 × 6371000     		dl = 66.8955000008626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34994685-1.34993635) × R
    1.05000000001354e-05 × 6371000     		dr = 66.8955000008626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77044185-0.77048979) × cos(1.34994685) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219058546480147 × 6371000     		do = 66.9061186619795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77044185-0.77048979) × cos(1.34993635) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219068791441092 × 6371000     		du = 66.9092477367573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34994685)-sin(1.34993635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219058546480147-0.219068791441092)×R²
    abs(0.77048979-0.77044185)×1.02449609448996e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02449609448996e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02449609448996e-05×40589641000000     		ar = 4475.82292169436m²