Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81607 / 19909
↖ ↑ ↗
← N 77.193132°
E 44.140320°		 ← 67.70 m → N 77.193132°
E 44.143066°		 →
↑
67.66 m
↓
↑
67.66 m
↓
N 77.192524°
E 44.140320°		 ← 67.71 m →
4 581 m²		 N 77.192524°
E 44.143066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622615814208984 y=0.151897430419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622615814208984 × 217)
    floor (0.622615814208984 × 131072)
    floor (81607.5)     		tx = 81607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151897430419922 × 217)
    floor (0.151897430419922 × 131072)
    floor (19909.5)     		ty = 19909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81607 / 19909 ti = "17/81607/19909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81607/19909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81607 ÷ 217
    81607 ÷ 131072     		x = 0.622611999511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19909 ÷ 217
    19909 ÷ 131072     		y = 0.151893615722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622611999511719 × 2 - 1) × π
    0.245223999023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.77039391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151893615722656 × 2 - 1) × π
    0.696212768554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.1872169189643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77039391} λ = 0.77039391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1872169189643))-π/2
    2×atan(8.91038026447522)-π/2
    2×1.45903532533312-π/2
    2.91807065066623-1.57079632675     		φ = 1.34727432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77039391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.140320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34727432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.193132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81607 KachelY 19909 0.77039391 1.34727432 44.140320 77.193132
    Oben rechts KachelX + 1 81608 KachelY 19909 0.77044185 1.34727432 44.143066 77.193132
    Unten links KachelX 81607 KachelY + 1 19910 0.77039391 1.34726370 44.140320 77.192524
    Unten rechts KachelX + 1 81608 KachelY + 1 19910 0.77044185 1.34726370 44.143066 77.192524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34727432-1.34726370) × R
    1.06199999998502e-05 × 6371000     		dl = 67.6600199990456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34727432-1.34726370) × R
    1.06199999998502e-05 × 6371000     		dr = 67.6600199990456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77039391-0.77044185) × cos(1.34727432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221665379905809 × 6371000     		do = 67.7023126900684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77039391-0.77044185) × cos(1.34726370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221675735697359 × 6371000     		du = 67.7054756153658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34727432)-sin(1.34726370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221665379905809-0.221675735697359)×R²
    abs(0.77044185-0.77039391)×1.03557915497876e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03557915497876e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03557915497876e-05×40589641000000     		ar = 4580.84683250212m²