Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81605 / 19657
↖ ↑ ↗
← N 77.345655°
E 44.134827°		 ← 66.91 m → N 77.345655°
E 44.137573°		 →
↑
66.90 m
↓
↑
66.90 m
↓
N 77.345054°
E 44.134827°		 ← 66.91 m →
4 476 m²		 N 77.345054°
E 44.137573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622600555419922 y=0.149974822998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622600555419922 × 217)
    floor (0.622600555419922 × 131072)
    floor (81605.5)     		tx = 81605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149974822998047 × 217)
    floor (0.149974822998047 × 131072)
    floor (19657.5)     		ty = 19657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81605 / 19657 ti = "17/81605/19657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81605/19657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81605 ÷ 217
    81605 ÷ 131072     		x = 0.622596740722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19657 ÷ 217
    19657 ÷ 131072     		y = 0.149971008300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622596740722656 × 2 - 1) × π
    0.245193481445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.77029804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149971008300781 × 2 - 1) × π
    0.700057983398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.19929701766856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77029804} λ = 0.77029804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19929701766856))-π/2
    2×atan(9.01867130388987)-π/2
    2×1.46036633877849-π/2
    2.92073267755699-1.57079632675     		φ = 1.34993635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77029804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.134827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34993635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.345655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81605 KachelY 19657 0.77029804 1.34993635 44.134827 77.345655
    Oben rechts KachelX + 1 81606 KachelY 19657 0.77034598 1.34993635 44.137573 77.345655
    Unten links KachelX 81605 KachelY + 1 19658 0.77029804 1.34992585 44.134827 77.345054
    Unten rechts KachelX + 1 81606 KachelY + 1 19658 0.77034598 1.34992585 44.137573 77.345054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34993635-1.34992585) × R
    1.04999999999134e-05 × 6371000     		dl = 66.895499999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34993635-1.34992585) × R
    1.04999999999134e-05 × 6371000     		dr = 66.895499999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77029804-0.77034598) × cos(1.34993635) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219068791441092 × 6371000     		do = 66.9092477367573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77029804-0.77034598) × cos(1.34992585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219079036377884 × 6371000     		du = 66.9123768041584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34993635)-sin(1.34992585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219068791441092-0.219079036377884)×R²
    abs(0.77034598-0.77029804)×1.02449367923307e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02449367923307e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02449367923307e-05×40589641000000     		ar = 4476.03224223048m²