Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81604 / 115048
↖ ↑ ↗
← S 79.355532°
E 44.132080°		 ← 56.42 m → S 79.355532°
E 44.134827°		 →
↑
56.38 m
↓
↑
56.38 m
↓
S 79.356039°
E 44.132080°		 ← 56.41 m →
3 181 m²		 S 79.356039°
E 44.134827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622592926025391 y=0.877750396728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622592926025391 × 217)
    floor (0.622592926025391 × 131072)
    floor (81604.5)     		tx = 81604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877750396728516 × 217)
    floor (0.877750396728516 × 131072)
    floor (115048.5)     		ty = 115048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81604 / 115048 ti = "17/81604/115048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81604/115048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81604 ÷ 217
    81604 ÷ 131072     		x = 0.622589111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115048 ÷ 217
    115048 ÷ 131072     		y = 0.87774658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622589111328125 × 2 - 1) × π
    0.24517822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77025010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.7554931640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.37345177398822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77025010} λ = 0.77025010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37345177398822))-π/2
    2×atan(0.0931586081979265)-π/2
    2×0.09289050969616-π/2
    0.18578101939232-1.57079632675     		φ = -1.38501531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77025010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.132080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38501531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.355532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81604 KachelY 115048 0.77025010 -1.38501531 44.132080 -79.355532
    Oben rechts KachelX + 1 81605 KachelY 115048 0.77029804 -1.38501531 44.134827 -79.355532
    Unten links KachelX 81604 KachelY + 1 115049 0.77025010 -1.38502416 44.132080 -79.356039
    Unten rechts KachelX + 1 81605 KachelY + 1 115049 0.77029804 -1.38502416 44.134827 -79.356039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38501531--1.38502416) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dl = 56.3833499996762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38501531--1.38502416) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dr = 56.3833499996762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77025010-0.77029804) × cos(-1.38501531) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184714167067534 × 6371000     		do = 56.4164611650481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77025010-0.77029804) × cos(-1.38502416) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184705469348573 × 6371000     		du = 56.4138046577983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38501531)-sin(-1.38502416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184714167067534-0.184705469348573)×R²
    abs(0.77029804-0.77025010)×8.69771896036542e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.69771896036542e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.69771896036542e-06×40589641000000     		ar = 3180.87418432203m²