Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81603 / 19903
↖ ↑ ↗
← N 77.196785°
E 44.129334°		 ← 67.67 m → N 77.196785°
E 44.132080°		 →
↑
67.66 m
↓
↑
67.66 m
↓
N 77.196177°
E 44.129334°		 ← 67.67 m →
4 579 m²		 N 77.196177°
E 44.132080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622585296630859 y=0.151851654052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622585296630859 × 217)
    floor (0.622585296630859 × 131072)
    floor (81603.5)     		tx = 81603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151851654052734 × 217)
    floor (0.151851654052734 × 131072)
    floor (19903.5)     		ty = 19903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81603 / 19903 ti = "17/81603/19903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81603/19903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81603 ÷ 217
    81603 ÷ 131072     		x = 0.622581481933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19903 ÷ 217
    19903 ÷ 131072     		y = 0.151847839355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622581481933594 × 2 - 1) × π
    0.245162963867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.77020217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151847839355469 × 2 - 1) × π
    0.696304321289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.18750454036202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77020217} λ = 0.77020217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18750454036202))-π/2
    2×atan(8.91294344909681)-π/2
    2×1.45906719871584-π/2
    2.91813439743167-1.57079632675     		φ = 1.34733807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77020217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.129334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34733807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.196785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81603 KachelY 19903 0.77020217 1.34733807 44.129334 77.196785
    Oben rechts KachelX + 1 81604 KachelY 19903 0.77025010 1.34733807 44.132080 77.196785
    Unten links KachelX 81603 KachelY + 1 19904 0.77020217 1.34732745 44.129334 77.196177
    Unten rechts KachelX + 1 81604 KachelY + 1 19904 0.77025010 1.34732745 44.132080 77.196177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34733807-1.34732745) × R
    1.06199999998502e-05 × 6371000     		dl = 67.6600199990456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34733807-1.34732745) × R
    1.06199999998502e-05 × 6371000     		dr = 67.6600199990456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77020217-0.77025010) × cos(1.34733807) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.221603215377434 × 6371000     		do = 67.6692077022219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77020217-0.77025010) × cos(1.34732745) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.221613571319039 × 6371000     		du = 67.6723700135731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34733807)-sin(1.34732745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221603215377434-0.221613571319039)×R²
    abs(0.77025010-0.77020217)×1.03559416052557e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.03559416052557e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.03559416052557e-05×40589641000000     		ar = 4578.60692765766m²