Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81603 / 19655
↖ ↑ ↗
← N 77.346859°
E 44.129334°		 ← 66.89 m → N 77.346859°
E 44.132080°		 →
↑
66.90 m
↓
↑
66.90 m
↓
N 77.346257°
E 44.129334°		 ← 66.89 m →
4 475 m²		 N 77.346257°
E 44.132080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622585296630859 y=0.149959564208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622585296630859 × 217)
    floor (0.622585296630859 × 131072)
    floor (81603.5)     		tx = 81603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149959564208984 × 217)
    floor (0.149959564208984 × 131072)
    floor (19655.5)     		ty = 19655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81603 / 19655 ti = "17/81603/19655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81603/19655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81603 ÷ 217
    81603 ÷ 131072     		x = 0.622581481933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19655 ÷ 217
    19655 ÷ 131072     		y = 0.149955749511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622581481933594 × 2 - 1) × π
    0.245162963867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.77020217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149955749511719 × 2 - 1) × π
    0.700088500976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.1993928914678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77020217} λ = 0.77020217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1993928914678))-π/2
    2×atan(9.01953599962204)-π/2
    2×1.46037683976596-π/2
    2.92075367953192-1.57079632675     		φ = 1.34995735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77020217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.129334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34995735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.346859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81603 KachelY 19655 0.77020217 1.34995735 44.129334 77.346859
    Oben rechts KachelX + 1 81604 KachelY 19655 0.77025010 1.34995735 44.132080 77.346859
    Unten links KachelX 81603 KachelY + 1 19656 0.77020217 1.34994685 44.129334 77.346257
    Unten rechts KachelX + 1 81604 KachelY + 1 19656 0.77025010 1.34994685 44.132080 77.346257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34995735-1.34994685) × R
    1.04999999999134e-05 × 6371000     		dl = 66.895499999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34995735-1.34994685) × R
    1.04999999999134e-05 × 6371000     		dr = 66.895499999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77020217-0.77025010) × cos(1.34995735) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219048301495051 × 6371000     		do = 66.8890340126218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77020217-0.77025010) × cos(1.34994685) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219058546480147 × 6371000     		du = 66.892162442068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34995735)-sin(1.34994685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219048301495051-0.219058546480147)×R²
    abs(0.77025010-0.77020217)×1.02449850958863e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.02449850958863e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.02449850958863e-05×40589641000000     		ar = 4474.68001360062m²