Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81603 / 115041
↖ ↑ ↗
← S 79.351979°
E 44.129334°		 ← 56.42 m → S 79.351979°
E 44.132080°		 →
↑
56.45 m
↓
↑
56.45 m
↓
S 79.352487°
E 44.129334°		 ← 56.42 m →
3 185 m²		 S 79.352487°
E 44.132080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622585296630859 y=0.877696990966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622585296630859 × 217)
    floor (0.622585296630859 × 131072)
    floor (81603.5)     		tx = 81603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877696990966797 × 217)
    floor (0.877696990966797 × 131072)
    floor (115041.5)     		ty = 115041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81603 / 115041 ti = "17/81603/115041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81603/115041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81603 ÷ 217
    81603 ÷ 131072     		x = 0.622581481933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115041 ÷ 217
    115041 ÷ 131072     		y = 0.877693176269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622581481933594 × 2 - 1) × π
    0.245162963867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.77020217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877693176269531 × 2 - 1) × π
    -0.755386352539062 × 3.1415926535     		Φ = -2.37311621569088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77020217} λ = 0.77020217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37311621569088))-π/2
    2×atan(0.093189873587263)-π/2
    2×0.0929215059930284-π/2
    0.185843011986057-1.57079632675     		φ = -1.38495331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77020217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.129334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38495331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.351979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81603 KachelY 115041 0.77020217 -1.38495331 44.129334 -79.351979
    Oben rechts KachelX + 1 81604 KachelY 115041 0.77025010 -1.38495331 44.132080 -79.351979
    Unten links KachelX 81603 KachelY + 1 115042 0.77020217 -1.38496217 44.129334 -79.352487
    Unten rechts KachelX + 1 81604 KachelY + 1 115042 0.77025010 -1.38496217 44.132080 -79.352487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38495331--1.38496217) × R
    8.86000000011045e-06 × 6371000     		dl = 56.4470600007037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38495331--1.38496217) × R
    8.86000000011045e-06 × 6371000     		dr = 56.4470600007037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77020217-0.77025010) × cos(-1.38495331) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184775099834176 × 6371000     		do = 56.4232995788513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77020217-0.77025010) × cos(-1.38496217) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184766392388758 × 6371000     		du = 56.4206406556423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38495331)-sin(-1.38496217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184775099834176-0.184766392388758)×R²
    abs(0.77025010-0.77020217)×8.70744541819901e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.70744541819901e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.70744541819901e-06×40589641000000     		ar = 3184.85433245644m²