Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81602 / 19650
↖ ↑ ↗
← N 77.349867°
E 44.126587°		 ← 66.89 m → N 77.349867°
E 44.129334°		 →
↑
66.90 m
↓
↑
66.90 m
↓
N 77.349265°
E 44.126587°		 ← 66.89 m →
4 475 m²		 N 77.349265°
E 44.129334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622577667236328 y=0.149921417236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622577667236328 × 217)
    floor (0.622577667236328 × 131072)
    floor (81602.5)     		tx = 81602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149921417236328 × 217)
    floor (0.149921417236328 × 131072)
    floor (19650.5)     		ty = 19650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81602 / 19650 ti = "17/81602/19650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81602/19650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81602 ÷ 217
    81602 ÷ 131072     		x = 0.622573852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19650 ÷ 217
    19650 ÷ 131072     		y = 0.149917602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622573852539062 × 2 - 1) × π
    0.245147705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77015423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149917602539062 × 2 - 1) × π
    0.700164794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.1996325759659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77015423} λ = 0.77015423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1996325759659))-π/2
    2×atan(9.02169810168203)-π/2
    2×1.46040308793736-π/2
    2.92080617587473-1.57079632675     		φ = 1.35000985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77015423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.126587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35000985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.349867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81602 KachelY 19650 0.77015423 1.35000985 44.126587 77.349867
    Oben rechts KachelX + 1 81603 KachelY 19650 0.77020217 1.35000985 44.129334 77.349867
    Unten links KachelX 81602 KachelY + 1 19651 0.77015423 1.34999935 44.126587 77.349265
    Unten rechts KachelX + 1 81603 KachelY + 1 19651 0.77020217 1.34999935 44.129334 77.349265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35000985-1.34999935) × R
    1.04999999999134e-05 × 6371000     		dl = 66.895499999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35000985-1.34999935) × R
    1.04999999999134e-05 × 6371000     		dr = 66.895499999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77015423-0.77020217) × cos(1.35000985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.218997076207343 × 6371000     		do = 66.8873440584202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77015423-0.77020217) × cos(1.34999935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219007321313178 × 6371000     		du = 66.8904731774513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35000985)-sin(1.34999935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218997076207343-0.219007321313178)×R²
    abs(0.77020217-0.77015423)×1.0245105834944e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0245105834944e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0245105834944e-05×40589641000000     		ar = 4474.5669863797m²