Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81602 / 115045
↖ ↑ ↗
← S 79.354009°
E 44.126587°		 ← 56.42 m → S 79.354009°
E 44.129334°		 →
↑
56.45 m
↓
↑
56.45 m
↓
S 79.354517°
E 44.126587°		 ← 56.42 m →
3 185 m²		 S 79.354517°
E 44.129334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622577667236328 y=0.877727508544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622577667236328 × 217)
    floor (0.622577667236328 × 131072)
    floor (81602.5)     		tx = 81602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877727508544922 × 217)
    floor (0.877727508544922 × 131072)
    floor (115045.5)     		ty = 115045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81602 / 115045 ti = "17/81602/115045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81602/115045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81602 ÷ 217
    81602 ÷ 131072     		x = 0.622573852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115045 ÷ 217
    115045 ÷ 131072     		y = 0.877723693847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622573852539062 × 2 - 1) × π
    0.245147705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77015423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877723693847656 × 2 - 1) × π
    -0.755447387695312 × 3.1415926535     		Φ = -2.37330796328936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77015423} λ = 0.77015423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37330796328936))-π/2
    2×atan(0.0931720063658531)-π/2
    2×0.0929037925717221-π/2
    0.185807585143444-1.57079632675     		φ = -1.38498874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77015423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.126587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38498874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.354009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81602 KachelY 115045 0.77015423 -1.38498874 44.126587 -79.354009
    Oben rechts KachelX + 1 81603 KachelY 115045 0.77020217 -1.38498874 44.129334 -79.354009
    Unten links KachelX 81602 KachelY + 1 115046 0.77015423 -1.38499760 44.126587 -79.354517
    Unten rechts KachelX + 1 81603 KachelY + 1 115046 0.77020217 -1.38499760 44.129334 -79.354517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38498874--1.38499760) × R
    8.8599999998884e-06 × 6371000     		dl = 56.447059999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38498874--1.38499760) × R
    8.8599999998884e-06 × 6371000     		dr = 56.447059999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77015423-0.77020217) × cos(-1.38498874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184740279793356 × 6371000     		do = 56.4244366636558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77015423-0.77020217) × cos(-1.38499760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184731572289942 × 6371000     		du = 56.4217771679821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38498874)-sin(-1.38499760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184740279793356-0.184731572289942)×R²
    abs(0.77020217-0.77015423)×8.70750341386284e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.70750341386284e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.70750341386284e-06×40589641000000     		ar = 3184.91850147557m²