Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8160 / 4030
↖ ↑ ↗
← N 67.084550°
W  0.703125°		 ← 951.35 m → N 67.084550°
W  0.681152°		 →
↑
951.51 m
↓
↑
951.51 m
↓
N 67.075993°
W  0.703125°		 ← 951.68 m →
905 373 m²		 N 67.075993°
W  0.681152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498077392578125 y=0.246002197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498077392578125 × 214)
    floor (0.498077392578125 × 16384)
    floor (8160.5)     		tx = 8160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246002197265625 × 214)
    floor (0.246002197265625 × 16384)
    floor (4030.5)     		ty = 4030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8160 / 4030 ti = "14/8160/4030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8160/4030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8160 ÷ 214
    8160 ÷ 16384     		x = 0.498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4030 ÷ 214
    4030 ÷ 16384     		y = 0.2459716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498046875 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2459716796875 × 2 - 1) × π
    0.508056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.59610700974939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01227185} λ = -0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59610700974939))-π/2
    2×atan(4.93378780132593)-π/2
    2×1.37082130498102-π/2
    2.74164260996205-1.57079632675     		φ = 1.17084628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17084628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.084550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8160 KachelY 4030 -0.01227185 1.17084628 -0.703125 67.084550
    Oben rechts KachelX + 1 8161 KachelY 4030 -0.01188835 1.17084628 -0.681152 67.084550
    Unten links KachelX 8160 KachelY + 1 4031 -0.01227185 1.17069693 -0.703125 67.075993
    Unten rechts KachelX + 1 8161 KachelY + 1 4031 -0.01188835 1.17069693 -0.681152 67.075993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17084628-1.17069693) × R
    0.000149349999999826 × 6371000     		dl = 951.508849998891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17084628-1.17069693) × R
    0.000149349999999826 × 6371000     		dr = 951.508849998891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01227185--0.01188835) × cos(1.17084628) × R
    0.0003835 × 0.389372331874061 × 6371000     		do = 951.345046962759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01227185--0.01188835) × cos(1.17069693) × R
    0.0003835 × 0.389509890895535 × 6371000     		du = 951.681141962407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17084628)-sin(1.17069693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389372331874061-0.389509890895535)×R²
    abs(-0.01188835--0.01227185)×0.000137559021473888×R²
    0.0003835×0.000137559021473888×6371000²
    0.0003835×0.000137559021473888×40589641000000     		ar = 905373.131954858m²