Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81599 / 19637
↖ ↑ ↗
← N 77.357684°
E 44.118347°		 ← 66.85 m → N 77.357684°
E 44.121094°		 →
↑
66.83 m
↓
↑
66.83 m
↓
N 77.357083°
E 44.118347°		 ← 66.85 m →
4 468 m²		 N 77.357083°
E 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622554779052734 y=0.149822235107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622554779052734 × 217)
    floor (0.622554779052734 × 131072)
    floor (81599.5)     		tx = 81599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149822235107422 × 217)
    floor (0.149822235107422 × 131072)
    floor (19637.5)     		ty = 19637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81599 / 19637 ti = "17/81599/19637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81599/19637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81599 ÷ 217
    81599 ÷ 131072     		x = 0.622550964355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19637 ÷ 217
    19637 ÷ 131072     		y = 0.149818420410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622550964355469 × 2 - 1) × π
    0.245101928710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.77001042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149818420410156 × 2 - 1) × π
    0.700363159179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.20025575566096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77001042} λ = 0.77001042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20025575566096))-π/2
    2×atan(9.02732199291937)-π/2
    2×1.46047130446131-π/2
    2.92094260892261-1.57079632675     		φ = 1.35014628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77001042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.118347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35014628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.357684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81599 KachelY 19637 0.77001042 1.35014628 44.118347 77.357684
    Oben rechts KachelX + 1 81600 KachelY 19637 0.77005836 1.35014628 44.121094 77.357684
    Unten links KachelX 81599 KachelY + 1 19638 0.77001042 1.35013579 44.118347 77.357083
    Unten rechts KachelX + 1 81600 KachelY + 1 19638 0.77005836 1.35013579 44.121094 77.357083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35014628-1.35013579) × R
    1.04899999999741e-05 × 6371000     		dl = 66.8317899998352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35014628-1.35013579) × R
    1.04899999999741e-05 × 6371000     		dr = 66.8317899998352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77001042-0.77005836) × cos(1.35014628) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.218863955937633 × 6371000     		do = 66.8466857016899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77001042-0.77005836) × cos(1.35013579) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.218874191599566 × 6371000     		du = 66.8498119363101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35014628)-sin(1.35013579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218863955937633-0.218874191599566)×R²
    abs(0.77005836-0.77001042)×1.02356619327559e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.02356619327559e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.02356619327559e-05×40589641000000     		ar = 4467.58812697596m²