Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81596 / 17069
↖ ↑ ↗
← N 78.812110°
E 44.110108°		 ← 59.25 m → N 78.812110°
E 44.112854°		 →
↑
59.25 m
↓
↑
59.25 m
↓
N 78.811577°
E 44.110108°		 ← 59.25 m →
3 511 m²		 N 78.811577°
E 44.112854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622531890869141 y=0.130229949951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622531890869141 × 217)
    floor (0.622531890869141 × 131072)
    floor (81596.5)     		tx = 81596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130229949951172 × 217)
    floor (0.130229949951172 × 131072)
    floor (17069.5)     		ty = 17069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81596 / 17069 ti = "17/81596/17069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81596/17069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81596 ÷ 217
    81596 ÷ 131072     		x = 0.622528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17069 ÷ 217
    17069 ÷ 131072     		y = 0.130226135253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622528076171875 × 2 - 1) × π
    0.24505615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76986661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130226135253906 × 2 - 1) × π
    0.739547729492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.32335771388526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76986661} λ = 0.76986661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32335771388526))-π/2
    2×atan(10.2098987347479)-π/2
    2×1.47316356670334-π/2
    2.94632713340668-1.57079632675     		φ = 1.37553081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76986661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.110108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37553081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.812110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81596 KachelY 17069 0.76986661 1.37553081 44.110108 78.812110
    Oben rechts KachelX + 1 81597 KachelY 17069 0.76991454 1.37553081 44.112854 78.812110
    Unten links KachelX 81596 KachelY + 1 17070 0.76986661 1.37552151 44.110108 78.811577
    Unten rechts KachelX + 1 81597 KachelY + 1 17070 0.76991454 1.37552151 44.112854 78.811577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37553081-1.37552151) × R
    9.30000000010089e-06 × 6371000     		dl = 59.2503000006428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37553081-1.37552151) × R
    9.30000000010089e-06 × 6371000     		dr = 59.2503000006428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76986661-0.76991454) × cos(1.37553081) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.194027012762031 × 6371000     		do = 59.248482491886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76986661-0.76991454) × cos(1.37552151) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.194036136018177 × 6371000     		du = 59.2512683879028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37553081)-sin(1.37552151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194027012762031-0.194036136018177)×R²
    abs(0.76991454-0.76986661)×9.12325614557674e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.12325614557674e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.12325614557674e-06×40589641000000     		ar = 3510.57289480711m²