Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81594 / 20010
↖ ↑ ↗
← N 77.131496°
E 44.104614°		 ← 68.02 m → N 77.131496°
E 44.107361°		 →
↑
68.04 m
↓
↑
68.04 m
↓
N 77.130885°
E 44.104614°		 ← 68.03 m →
4 629 m²		 N 77.130885°
E 44.107361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622516632080078 y=0.152667999267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622516632080078 × 217)
    floor (0.622516632080078 × 131072)
    floor (81594.5)     		tx = 81594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152667999267578 × 217)
    floor (0.152667999267578 × 131072)
    floor (20010.5)     		ty = 20010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81594 / 20010 ti = "17/81594/20010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81594/20010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81594 ÷ 217
    81594 ÷ 131072     		x = 0.622512817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20010 ÷ 217
    20010 ÷ 131072     		y = 0.152664184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622512817382812 × 2 - 1) × π
    0.245025634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76977073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152664184570312 × 2 - 1) × π
    0.694671630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18237529210268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76977073} λ = 0.76977073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18237529210268))-π/2
    2×atan(8.86734379537124)-π/2
    2×1.45849744620361-π/2
    2.91699489240723-1.57079632675     		φ = 1.34619857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76977073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.104614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34619857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.131496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81594 KachelY 20010 0.76977073 1.34619857 44.104614 77.131496
    Oben rechts KachelX + 1 81595 KachelY 20010 0.76981867 1.34619857 44.107361 77.131496
    Unten links KachelX 81594 KachelY + 1 20011 0.76977073 1.34618789 44.104614 77.130885
    Unten rechts KachelX + 1 81595 KachelY + 1 20011 0.76981867 1.34618789 44.107361 77.130885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34619857-1.34618789) × R
    1.06800000001517e-05 × 6371000     		dl = 68.0422800009663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34619857-1.34618789) × R
    1.06800000001517e-05 × 6371000     		dr = 68.0422800009663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76977073-0.76981867) × cos(1.34619857) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.222714239787116 × 6371000     		do = 68.0226614956304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76977073-0.76981867) × cos(1.34618789) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.222724651533091 × 6371000     		du = 68.0258415108495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34619857)-sin(1.34618789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222714239787116-0.222724651533091)×R²
    abs(0.76981867-0.76977073)×1.04117459749642e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.04117459749642e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.04117459749642e-05×40589641000000     		ar = 4628.52516765229m²