Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81594 / 115026
↖ ↑ ↗
← S 79.344364°
E 44.104614°		 ← 56.47 m → S 79.344364°
E 44.107361°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
S 79.344873°
E 44.104614°		 ← 56.47 m →
3 191 m²		 S 79.344873°
E 44.107361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622516632080078 y=0.877582550048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622516632080078 × 217)
    floor (0.622516632080078 × 131072)
    floor (81594.5)     		tx = 81594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877582550048828 × 217)
    floor (0.877582550048828 × 131072)
    floor (115026.5)     		ty = 115026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81594 / 115026 ti = "17/81594/115026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81594/115026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81594 ÷ 217
    81594 ÷ 131072     		x = 0.622512817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115026 ÷ 217
    115026 ÷ 131072     		y = 0.877578735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622512817382812 × 2 - 1) × π
    0.245025634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76977073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877578735351562 × 2 - 1) × π
    -0.755157470703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37239716219658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76977073} λ = 0.76977073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37239716219658))-π/2
    2×atan(0.0932569061886243)-π/2
    2×0.0929879610599332-π/2
    0.185975922119866-1.57079632675     		φ = -1.38482040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76977073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.104614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38482040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.344364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81594 KachelY 115026 0.76977073 -1.38482040 44.104614 -79.344364
    Oben rechts KachelX + 1 81595 KachelY 115026 0.76981867 -1.38482040 44.107361 -79.344364
    Unten links KachelX 81594 KachelY + 1 115027 0.76977073 -1.38482927 44.104614 -79.344873
    Unten rechts KachelX + 1 81595 KachelY + 1 115027 0.76981867 -1.38482927 44.107361 -79.344873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38482040--1.38482927) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38482040--1.38482927) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76977073-0.76981867) × cos(-1.38482040) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.184905719602055 × 6371000     		do = 56.4749662397839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76977073-0.76981867) × cos(-1.38482927) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.184897002546718 × 6371000     		du = 56.4723038267069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38482040)-sin(-1.38482927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184905719602055-0.184897002546718)×R²
    abs(0.76981867-0.76977073)×8.71705533744827e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.71705533744827e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.71705533744827e-06×40589641000000     		ar = 3191.36860046846m²