Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81593 / 114998
↖ ↑ ↗
← S 79.330135°
E 44.101868°		 ← 56.54 m → S 79.330135°
E 44.104614°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
S 79.330644°
E 44.101868°		 ← 56.54 m →
3 199 m²		 S 79.330644°
E 44.104614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622509002685547 y=0.877368927001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622509002685547 × 217)
    floor (0.622509002685547 × 131072)
    floor (81593.5)     		tx = 81593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877368927001953 × 217)
    floor (0.877368927001953 × 131072)
    floor (114998.5)     		ty = 114998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81593 / 114998 ti = "17/81593/114998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81593/114998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81593 ÷ 217
    81593 ÷ 131072     		x = 0.622505187988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114998 ÷ 217
    114998 ÷ 131072     		y = 0.877365112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622505187988281 × 2 - 1) × π
    0.245010375976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.76972280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877365112304688 × 2 - 1) × π
    -0.754730224609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37105492900722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76972280} λ = 0.76972280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37105492900722))-π/2
    2×atan(0.0933821627461972)-π/2
    2×0.093112136233441-π/2
    0.186224272466882-1.57079632675     		φ = -1.38457205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76972280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.101868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38457205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.330135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81593 KachelY 114998 0.76972280 -1.38457205 44.101868 -79.330135
    Oben rechts KachelX + 1 81594 KachelY 114998 0.76977073 -1.38457205 44.104614 -79.330135
    Unten links KachelX 81593 KachelY + 1 114999 0.76972280 -1.38458093 44.101868 -79.330644
    Unten rechts KachelX + 1 81594 KachelY + 1 114999 0.76977073 -1.38458093 44.104614 -79.330644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38457205--1.38458093) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38457205--1.38458093) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76972280-0.76977073) × cos(-1.38457205) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.185149781415483 × 6371000     		do = 56.5377131069917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76972280-0.76977073) × cos(-1.38458093) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.185141054940607 × 6371000     		du = 56.535048372909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38457205)-sin(-1.38458093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185149781415483-0.185141054940607)×R²
    abs(0.76977073-0.76972280)×8.72647487548672e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.72647487548672e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.72647487548672e-06×40589641000000     		ar = 3198.51634145073m²