Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81592 / 17059
↖ ↑ ↗
← N 78.817438°
E 44.099121°		 ← 59.23 m → N 78.817438°
E 44.101868°		 →
↑
59.25 m
↓
↑
59.25 m
↓
N 78.816905°
E 44.099121°		 ← 59.24 m →
3 510 m²		 N 78.816905°
E 44.101868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622501373291016 y=0.130153656005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622501373291016 × 217)
    floor (0.622501373291016 × 131072)
    floor (81592.5)     		tx = 81592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130153656005859 × 217)
    floor (0.130153656005859 × 131072)
    floor (17059.5)     		ty = 17059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81592 / 17059 ti = "17/81592/17059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81592/17059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81592 ÷ 217
    81592 ÷ 131072     		x = 0.62249755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17059 ÷ 217
    17059 ÷ 131072     		y = 0.130149841308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62249755859375 × 2 - 1) × π
    0.2449951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76967486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130149841308594 × 2 - 1) × π
    0.739700317382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.32383708288146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76967486} λ = 0.76967486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32383708288146))-π/2
    2×atan(10.2147942169331)-π/2
    2×1.47321006103819-π/2
    2.94642012207638-1.57079632675     		φ = 1.37562380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76967486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.099121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37562380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.817438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81592 KachelY 17059 0.76967486 1.37562380 44.099121 78.817438
    Oben rechts KachelX + 1 81593 KachelY 17059 0.76972280 1.37562380 44.101868 78.817438
    Unten links KachelX 81592 KachelY + 1 17060 0.76967486 1.37561450 44.099121 78.816905
    Unten rechts KachelX + 1 81593 KachelY + 1 17060 0.76972280 1.37561450 44.101868 78.816905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37562380-1.37561450) × R
    9.30000000010089e-06 × 6371000     		dl = 59.2503000006428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37562380-1.37561450) × R
    9.30000000010089e-06 × 6371000     		dr = 59.2503000006428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76967486-0.76972280) × cos(1.37562380) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.193935789087872 × 6371000     		do = 59.2329818947456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76967486-0.76972280) × cos(1.37561450) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.193944912511778 × 6371000     		du = 59.2357684232434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37562380)-sin(1.37561450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193935789087872-0.193944912511778)×R²
    abs(0.76972280-0.76967486)×9.12342390599341e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.12342390599341e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.12342390599341e-06×40589641000000     		ar = 3509.65449855814m²