Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81592 / 114997
↖ ↑ ↗
← S 79.329627°
E 44.099121°		 ← 56.55 m → S 79.329627°
E 44.101868°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
S 79.330135°
E 44.099121°		 ← 56.55 m →
3 196 m²		 S 79.330135°
E 44.101868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622501373291016 y=0.877361297607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622501373291016 × 217)
    floor (0.622501373291016 × 131072)
    floor (81592.5)     		tx = 81592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877361297607422 × 217)
    floor (0.877361297607422 × 131072)
    floor (114997.5)     		ty = 114997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81592 / 114997 ti = "17/81592/114997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81592/114997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81592 ÷ 217
    81592 ÷ 131072     		x = 0.62249755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114997 ÷ 217
    114997 ÷ 131072     		y = 0.877357482910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62249755859375 × 2 - 1) × π
    0.2449951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76967486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877357482910156 × 2 - 1) × π
    -0.754714965820312 × 3.1415926535     		Φ = -2.3710069921076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76967486} λ = 0.76967486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3710069921076))-π/2
    2×atan(0.0933866393048543)-π/2
    2×0.0931165740911108-π/2
    0.186233148182222-1.57079632675     		φ = -1.38456318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76967486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.099121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38456318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.329627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81592 KachelY 114997 0.76967486 -1.38456318 44.099121 -79.329627
    Oben rechts KachelX + 1 81593 KachelY 114997 0.76972280 -1.38456318 44.101868 -79.329627
    Unten links KachelX 81592 KachelY + 1 114998 0.76967486 -1.38457205 44.099121 -79.330135
    Unten rechts KachelX + 1 81593 KachelY + 1 114998 0.76972280 -1.38457205 44.101868 -79.330135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38456318--1.38457205) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38456318--1.38457205) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76967486-0.76972280) × cos(-1.38456318) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185158498048672 × 6371000     		do = 56.5521712838979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76967486-0.76972280) × cos(-1.38457205) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185149781415483 × 6371000     		du = 56.5495089997559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38456318)-sin(-1.38457205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185158498048672-0.185149781415483)×R²
    abs(0.76972280-0.76967486)×8.71663318896543e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.71663318896543e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.71663318896543e-06×40589641000000     		ar = 3195.73152059614m²