Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81591 / 19730
↖ ↑ ↗
← N 77.301657°
E 44.096374°		 ← 67.14 m → N 77.301657°
E 44.099121°		 →
↑
67.09 m
↓
↑
67.09 m
↓
N 77.301054°
E 44.096374°		 ← 67.14 m →
4 504 m²		 N 77.301054°
E 44.099121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622493743896484 y=0.150531768798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622493743896484 × 217)
    floor (0.622493743896484 × 131072)
    floor (81591.5)     		tx = 81591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150531768798828 × 217)
    floor (0.150531768798828 × 131072)
    floor (19730.5)     		ty = 19730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81591 / 19730 ti = "17/81591/19730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81591/19730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81591 ÷ 217
    81591 ÷ 131072     		x = 0.622489929199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19730 ÷ 217
    19730 ÷ 131072     		y = 0.150527954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622489929199219 × 2 - 1) × π
    0.244979858398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.76962692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150527954101562 × 2 - 1) × π
    0.698944091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19579762399629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76962692} λ = 0.76962692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19579762399629))-π/2
    2×atan(8.98716657846513)-π/2
    2×1.45998237972594-π/2
    2.91996475945188-1.57079632675     		φ = 1.34916843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76962692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.096374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34916843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.301657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81591 KachelY 19730 0.76962692 1.34916843 44.096374 77.301657
    Oben rechts KachelX + 1 81592 KachelY 19730 0.76967486 1.34916843 44.099121 77.301657
    Unten links KachelX 81591 KachelY + 1 19731 0.76962692 1.34915790 44.096374 77.301054
    Unten rechts KachelX + 1 81592 KachelY + 1 19731 0.76967486 1.34915790 44.099121 77.301054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34916843-1.34915790) × R
    1.05299999999531e-05 × 6371000     		dl = 67.086629999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34916843-1.34915790) × R
    1.05299999999531e-05 × 6371000     		dr = 67.086629999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76962692-0.76967486) × cos(1.34916843) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21981799354969 × 6371000     		do = 67.1380733451853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76962692-0.76967486) × cos(1.34915790) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219828265983192 × 6371000     		du = 67.1412108107891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34916843)-sin(1.34915790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21981799354969-0.219828265983192)×R²
    abs(0.76967486-0.76962692)×1.02724335015181e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02724335015181e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02724335015181e-05×40589641000000     		ar = 4504.1723265711m²