Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81591 / 17057
↖ ↑ ↗
← N 78.818503°
E 44.096374°		 ← 59.23 m → N 78.818503°
E 44.099121°		 →
↑
59.25 m
↓
↑
59.25 m
↓
N 78.817970°
E 44.096374°		 ← 59.23 m →
3 509 m²		 N 78.817970°
E 44.099121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622493743896484 y=0.130138397216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622493743896484 × 217)
    floor (0.622493743896484 × 131072)
    floor (81591.5)     		tx = 81591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130138397216797 × 217)
    floor (0.130138397216797 × 131072)
    floor (17057.5)     		ty = 17057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81591 / 17057 ti = "17/81591/17057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81591/17057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81591 ÷ 217
    81591 ÷ 131072     		x = 0.622489929199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17057 ÷ 217
    17057 ÷ 131072     		y = 0.130134582519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622489929199219 × 2 - 1) × π
    0.244979858398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.76962692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130134582519531 × 2 - 1) × π
    0.739730834960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.3239329566807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76962692} λ = 0.76962692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3239329566807))-π/2
    2×atan(10.2157735950108)-π/2
    2×1.47321935728169-π/2
    2.94643871456337-1.57079632675     		φ = 1.37564239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76962692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.096374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37564239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.818503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81591 KachelY 17057 0.76962692 1.37564239 44.096374 78.818503
    Oben rechts KachelX + 1 81592 KachelY 17057 0.76967486 1.37564239 44.099121 78.818503
    Unten links KachelX 81591 KachelY + 1 17058 0.76962692 1.37563309 44.096374 78.817970
    Unten rechts KachelX + 1 81592 KachelY + 1 17058 0.76967486 1.37563309 44.099121 78.817970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37564239-1.37563309) × R
    9.30000000010089e-06 × 6371000     		dl = 59.2503000006428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37564239-1.37563309) × R
    9.30000000010089e-06 × 6371000     		dr = 59.2503000006428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76962692-0.76967486) × cos(1.37564239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193917551999919 × 6371000     		do = 59.2274118185248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76962692-0.76967486) × cos(1.37563309) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193926675457353 × 6371000     		du = 59.230198357263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37564239)-sin(1.37563309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193917551999919-0.193926675457353)×R²
    abs(0.76967486-0.76962692)×9.1234574342014e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.1234574342014e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.1234574342014e-06×40589641000000     		ar = 3509.32447014988m²