Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81590 / 17056
↖ ↑ ↗
← N 78.819035°
E 44.093628°		 ← 59.21 m → N 78.819035°
E 44.096374°		 →
↑
59.19 m
↓
↑
59.19 m
↓
N 78.818503°
E 44.093628°		 ← 59.22 m →
3 505 m²		 N 78.818503°
E 44.096374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622486114501953 y=0.130130767822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622486114501953 × 217)
    floor (0.622486114501953 × 131072)
    floor (81590.5)     		tx = 81590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130130767822266 × 217)
    floor (0.130130767822266 × 131072)
    floor (17056.5)     		ty = 17056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81590 / 17056 ti = "17/81590/17056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81590/17056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81590 ÷ 217
    81590 ÷ 131072     		x = 0.622482299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17056 ÷ 217
    17056 ÷ 131072     		y = 0.130126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622482299804688 × 2 - 1) × π
    0.244964599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76957899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130126953125 × 2 - 1) × π
    0.73974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32398089358032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76957899} λ = 0.76957899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32398089358032))-π/2
    2×atan(10.216263319262)-π/2
    2×1.47322400507556-π/2
    2.94644801015113-1.57079632675     		φ = 1.37565168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76957899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.093628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37565168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.819035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81590 KachelY 17056 0.76957899 1.37565168 44.093628 78.819035
    Oben rechts KachelX + 1 81591 KachelY 17056 0.76962692 1.37565168 44.096374 78.819035
    Unten links KachelX 81590 KachelY + 1 17057 0.76957899 1.37564239 44.093628 78.818503
    Unten rechts KachelX + 1 81591 KachelY + 1 17057 0.76962692 1.37564239 44.096374 78.818503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37565168-1.37564239) × R
    9.28999999993962e-06 × 6371000     		dl = 59.1865899996154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37565168-1.37564239) × R
    9.28999999993962e-06 × 6371000     		dr = 59.1865899996154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76957899-0.76962692) × cos(1.37565168) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.193908438335909 × 6371000     		do = 59.2122743644193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76957899-0.76962692) × cos(1.37564239) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.193917551999919 × 6371000     		du = 59.215057331362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37565168)-sin(1.37564239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193908438335909-0.193917551999919)×R²
    abs(0.76962692-0.76957899)×9.11366400960234e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.11366400960234e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.11366400960234e-06×40589641000000     		ar = 3504.65496274993m²