Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81590 / 115027
↖ ↑ ↗
← S 79.344873°
E 44.093628°		 ← 56.46 m → S 79.344873°
E 44.096374°		 →
↑
56.45 m
↓
↑
56.45 m
↓
S 79.345380°
E 44.093628°		 ← 56.46 m →
3 187 m²		 S 79.345380°
E 44.096374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622486114501953 y=0.877590179443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622486114501953 × 217)
    floor (0.622486114501953 × 131072)
    floor (81590.5)     		tx = 81590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877590179443359 × 217)
    floor (0.877590179443359 × 131072)
    floor (115027.5)     		ty = 115027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81590 / 115027 ti = "17/81590/115027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81590/115027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81590 ÷ 217
    81590 ÷ 131072     		x = 0.622482299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115027 ÷ 217
    115027 ÷ 131072     		y = 0.877586364746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622482299804688 × 2 - 1) × π
    0.244964599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76957899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877586364746094 × 2 - 1) × π
    -0.755172729492188 × 3.1415926535     		Φ = -2.3724450990962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76957899} λ = 0.76957899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3724450990962))-π/2
    2×atan(0.0932524358488214)-π/2
    2×0.092983529260976-π/2
    0.185967058521952-1.57079632675     		φ = -1.38482927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76957899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.093628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38482927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.344873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81590 KachelY 115027 0.76957899 -1.38482927 44.093628 -79.344873
    Oben rechts KachelX + 1 81591 KachelY 115027 0.76962692 -1.38482927 44.096374 -79.344873
    Unten links KachelX 81590 KachelY + 1 115028 0.76957899 -1.38483813 44.093628 -79.345380
    Unten rechts KachelX + 1 81591 KachelY + 1 115028 0.76962692 -1.38483813 44.096374 -79.345380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38482927--1.38483813) × R
    8.8599999998884e-06 × 6371000     		dl = 56.447059999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38482927--1.38483813) × R
    8.8599999998884e-06 × 6371000     		dr = 56.447059999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76957899-0.76962692) × cos(-1.38482927) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184897002546718 × 6371000     		do = 56.4605240386154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76957899-0.76962692) × cos(-1.38483813) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184888295304429 × 6371000     		du = 56.4578651774343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38482927)-sin(-1.38483813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184897002546718-0.184888295304429)×R²
    abs(0.76962692-0.76957899)×8.70724228896336e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.70724228896336e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.70724228896336e-06×40589641000000     		ar = 3186.95554573335m²