Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8159 / 7854
↖ ↑ ↗
← N 79.514661°
W135.181275°		 ← 111.17 m → N 79.514661°
W135.175781°		 →
↑
111.17 m
↓
↑
111.17 m
↓
N 79.513661°
W135.181275°		 ← 111.18 m →
12 359 m²		 N 79.513661°
W135.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124504089355469 y=0.119850158691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124504089355469 × 216)
    floor (0.124504089355469 × 65536)
    floor (8159.5)     		tx = 8159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119850158691406 × 216)
    floor (0.119850158691406 × 65536)
    floor (7854.5)     		ty = 7854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8159 / 7854 ti = "16/8159/7854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8159/7854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8159 ÷ 216
    8159 ÷ 65536     		x = 0.124496459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7854 ÷ 216
    7854 ÷ 65536     		y = 0.119842529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124496459960938 × 2 - 1) × π
    -0.751007080078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.35935833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119842529296875 × 2 - 1) × π
    0.76031494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38859983426816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35935833} λ = -2.35935833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38859983426816))-π/2
    2×atan(10.8982239355735)-π/2
    2×1.47929448351948-π/2
    2.95858896703896-1.57079632675     		φ = 1.38779264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35935833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.181275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38779264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.514661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8159 KachelY 7854 -2.35935833 1.38779264 -135.181275 79.514661
    Oben rechts KachelX + 1 8160 KachelY 7854 -2.35926245 1.38779264 -135.175781 79.514661
    Unten links KachelX 8159 KachelY + 1 7855 -2.35935833 1.38777519 -135.181275 79.513661
    Unten rechts KachelX + 1 8160 KachelY + 1 7855 -2.35926245 1.38777519 -135.175781 79.513661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38779264-1.38777519) × R
    1.74500000000855e-05 × 6371000     		dl = 111.173950000544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38779264-1.38777519) × R
    1.74500000000855e-05 × 6371000     		dr = 111.173950000544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35935833--2.35926245) × cos(1.38779264) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.181983919676631 × 6371000     		do = 111.165146670598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35935833--2.35926245) × cos(1.38777519) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182001078260214 × 6371000     		du = 111.175628016775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38779264)-sin(1.38777519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181983919676631-0.182001078260214)×R²
    abs(-2.35926245--2.35935833)×1.71585835829768e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.71585835829768e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.71585835829768e-05×40589641000000     		ar = 12359.2510845502m²