Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81589 / 19647
↖ ↑ ↗
← N 77.351671°
E 44.090881°		 ← 66.88 m → N 77.351671°
E 44.093628°		 →
↑
66.90 m
↓
↑
66.90 m
↓
N 77.351069°
E 44.090881°		 ← 66.88 m →
4 474 m²		 N 77.351069°
E 44.093628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622478485107422 y=0.149898529052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622478485107422 × 217)
    floor (0.622478485107422 × 131072)
    floor (81589.5)     		tx = 81589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149898529052734 × 217)
    floor (0.149898529052734 × 131072)
    floor (19647.5)     		ty = 19647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81589 / 19647 ti = "17/81589/19647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81589/19647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81589 ÷ 217
    81589 ÷ 131072     		x = 0.622474670410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19647 ÷ 217
    19647 ÷ 131072     		y = 0.149894714355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622474670410156 × 2 - 1) × π
    0.244949340820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.76953105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149894714355469 × 2 - 1) × π
    0.700210571289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.19977638666476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76953105} λ = 0.76953105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19977638666476))-π/2
    2×atan(9.02299561168661)-π/2
    2×1.46041883389395-π/2
    2.92083766778791-1.57079632675     		φ = 1.35004134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76953105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.090881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35004134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.351671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81589 KachelY 19647 0.76953105 1.35004134 44.090881 77.351671
    Oben rechts KachelX + 1 81590 KachelY 19647 0.76957899 1.35004134 44.093628 77.351671
    Unten links KachelX 81589 KachelY + 1 19648 0.76953105 1.35003084 44.090881 77.351069
    Unten rechts KachelX + 1 81590 KachelY + 1 19648 0.76957899 1.35003084 44.093628 77.351069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35004134-1.35003084) × R
    1.04999999999134e-05 × 6371000     		dl = 66.895499999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35004134-1.35003084) × R
    1.04999999999134e-05 × 6371000     		dr = 66.895499999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76953105-0.76957899) × cos(1.35004134) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.2189663505023 × 6371000     		do = 66.8779596372204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76953105-0.76957899) × cos(1.35003084) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.218976595680542 × 6371000     		du = 66.8810887783664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35004134)-sin(1.35003084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2189663505023-0.218976595680542)×R²
    abs(0.76957899-0.76953105)×1.02451782418578e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02451782418578e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02451782418578e-05×40589641000000     		ar = 4473.93921164134m²