Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81589 / 17055
↖ ↑ ↗
← N 78.819568°
E 44.090881°		 ← 59.22 m → N 78.819568°
E 44.093628°		 →
↑
59.25 m
↓
↑
59.25 m
↓
N 78.819035°
E 44.090881°		 ← 59.22 m →
3 509 m²		 N 78.819035°
E 44.093628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622478485107422 y=0.130123138427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622478485107422 × 217)
    floor (0.622478485107422 × 131072)
    floor (81589.5)     		tx = 81589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130123138427734 × 217)
    floor (0.130123138427734 × 131072)
    floor (17055.5)     		ty = 17055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81589 / 17055 ti = "17/81589/17055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81589/17055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81589 ÷ 217
    81589 ÷ 131072     		x = 0.622474670410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17055 ÷ 217
    17055 ÷ 131072     		y = 0.130119323730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622474670410156 × 2 - 1) × π
    0.244949340820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.76953105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130119323730469 × 2 - 1) × π
    0.739761352539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.32402883047994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76953105} λ = 0.76953105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32402883047994))-π/2
    2×atan(10.2167530669896)-π/2
    2×1.47322865265088-π/2
    2.94645730530175-1.57079632675     		φ = 1.37566098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76953105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.090881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37566098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.819568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81589 KachelY 17055 0.76953105 1.37566098 44.090881 78.819568
    Oben rechts KachelX + 1 81590 KachelY 17055 0.76957899 1.37566098 44.093628 78.819568
    Unten links KachelX 81589 KachelY + 1 17056 0.76953105 1.37565168 44.090881 78.819035
    Unten rechts KachelX + 1 81590 KachelY + 1 17056 0.76957899 1.37565168 44.093628 78.819035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37566098-1.37565168) × R
    9.29999999987885e-06 × 6371000     		dl = 59.2502999992281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37566098-1.37565168) × R
    9.29999999987885e-06 × 6371000     		dr = 59.2502999992281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76953105-0.76957899) × cos(1.37566098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19389931484495 × 6371000     		do = 59.221841721973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76953105-0.76957899) × cos(1.37565168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193908438335909 × 6371000     		du = 59.2246282709506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37566098)-sin(1.37565168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19389931484495-0.193908438335909)×R²
    abs(0.76957899-0.76953105)×9.12349095902321e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.12349095902321e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.12349095902321e-06×40589641000000     		ar = 3508.99444066957m²