Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81588 / 19732
↖ ↑ ↗
← N 77.300450°
E 44.088135°		 ← 67.14 m → N 77.300450°
E 44.090881°		 →
↑
67.15 m
↓
↑
67.15 m
↓
N 77.299846°
E 44.088135°		 ← 67.15 m →
4 509 m²		 N 77.299846°
E 44.090881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622470855712891 y=0.150547027587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622470855712891 × 217)
    floor (0.622470855712891 × 131072)
    floor (81588.5)     		tx = 81588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150547027587891 × 217)
    floor (0.150547027587891 × 131072)
    floor (19732.5)     		ty = 19732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81588 / 19732 ti = "17/81588/19732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81588/19732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81588 ÷ 217
    81588 ÷ 131072     		x = 0.622467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19732 ÷ 217
    19732 ÷ 131072     		y = 0.150543212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622467041015625 × 2 - 1) × π
    0.24493408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76948311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150543212890625 × 2 - 1) × π
    0.69891357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19570175019705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76948311} λ = 0.76948311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19570175019705))-π/2
    2×atan(8.98630498596358)-π/2
    2×1.45997184184018-π/2
    2.91994368368036-1.57079632675     		φ = 1.34914736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76948311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.088135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34914736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.300450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81588 KachelY 19732 0.76948311 1.34914736 44.088135 77.300450
    Oben rechts KachelX + 1 81589 KachelY 19732 0.76953105 1.34914736 44.090881 77.300450
    Unten links KachelX 81588 KachelY + 1 19733 0.76948311 1.34913682 44.088135 77.299846
    Unten rechts KachelX + 1 81589 KachelY + 1 19733 0.76953105 1.34913682 44.090881 77.299846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34914736-1.34913682) × R
    1.05399999998923e-05 × 6371000     		dl = 67.1503399993139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34914736-1.34913682) × R
    1.05399999998923e-05 × 6371000     		dr = 67.1503399993139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76948311-0.76953105) × cos(1.34914736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219838548147681 × 6371000     		do = 67.1443512484871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76948311-0.76953105) × cos(1.34913682) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219848830287748 × 6371000     		du = 67.1474916787259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34914736)-sin(1.34913682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219838548147681-0.219848830287748)×R²
    abs(0.76953105-0.76948311)×1.02821400671804e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02821400671804e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02821400671804e-05×40589641000000     		ar = 4508.87145585105m²