Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81588 / 19651
↖ ↑ ↗
← N 77.349265°
E 44.088135°		 ← 66.89 m → N 77.349265°
E 44.090881°		 →
↑
66.90 m
↓
↑
66.90 m
↓
N 77.348663°
E 44.088135°		 ← 66.89 m →
4 475 m²		 N 77.348663°
E 44.090881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622470855712891 y=0.149929046630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622470855712891 × 217)
    floor (0.622470855712891 × 131072)
    floor (81588.5)     		tx = 81588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149929046630859 × 217)
    floor (0.149929046630859 × 131072)
    floor (19651.5)     		ty = 19651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81588 / 19651 ti = "17/81588/19651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81588/19651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81588 ÷ 217
    81588 ÷ 131072     		x = 0.622467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19651 ÷ 217
    19651 ÷ 131072     		y = 0.149925231933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622467041015625 × 2 - 1) × π
    0.24493408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76948311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149925231933594 × 2 - 1) × π
    0.700149536132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.19958463906628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76948311} λ = 0.76948311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19958463906628))-π/2
    2×atan(9.02126563981125)-π/2
    2×1.46039783879415-π/2
    2.92079567758831-1.57079632675     		φ = 1.34999935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76948311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.088135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34999935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.349265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81588 KachelY 19651 0.76948311 1.34999935 44.088135 77.349265
    Oben rechts KachelX + 1 81589 KachelY 19651 0.76953105 1.34999935 44.090881 77.349265
    Unten links KachelX 81588 KachelY + 1 19652 0.76948311 1.34998885 44.088135 77.348663
    Unten rechts KachelX + 1 81589 KachelY + 1 19652 0.76953105 1.34998885 44.090881 77.348663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34999935-1.34998885) × R
    1.05000000001354e-05 × 6371000     		dl = 66.8955000008626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34999935-1.34998885) × R
    1.05000000001354e-05 × 6371000     		dr = 66.8955000008626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76948311-0.76953105) × cos(1.34999935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219007321313178 × 6371000     		do = 66.8904731774513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76948311-0.76953105) × cos(1.34998885) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219017566394867 × 6371000     		du = 66.8936022891077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34999935)-sin(1.34998885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219007321313178-0.219017566394867)×R²
    abs(0.76953105-0.76948311)×1.02450816896471e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02450816896471e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02450816896471e-05×40589641000000     		ar = 4474.77631037238m²