Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81588 / 114994
↖ ↑ ↗
← S 79.328101°
E 44.088135°		 ← 56.56 m → S 79.328101°
E 44.090881°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
S 79.328610°
E 44.088135°		 ← 56.56 m →
3 200 m²		 S 79.328610°
E 44.090881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622470855712891 y=0.877338409423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622470855712891 × 217)
    floor (0.622470855712891 × 131072)
    floor (81588.5)     		tx = 81588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877338409423828 × 217)
    floor (0.877338409423828 × 131072)
    floor (114994.5)     		ty = 114994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81588 / 114994 ti = "17/81588/114994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81588/114994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81588 ÷ 217
    81588 ÷ 131072     		x = 0.622467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114994 ÷ 217
    114994 ÷ 131072     		y = 0.877334594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622467041015625 × 2 - 1) × π
    0.24493408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76948311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877334594726562 × 2 - 1) × π
    -0.754669189453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37086318140874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76948311} λ = 0.76948311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37086318140874))-π/2
    2×atan(0.0934000702684519)-π/2
    2×0.0931298889185397-π/2
    0.186259777837079-1.57079632675     		φ = -1.38453655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76948311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.088135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38453655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.328101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81588 KachelY 114994 0.76948311 -1.38453655 44.088135 -79.328101
    Oben rechts KachelX + 1 81589 KachelY 114994 0.76953105 -1.38453655 44.090881 -79.328101
    Unten links KachelX 81588 KachelY + 1 114995 0.76948311 -1.38454543 44.088135 -79.328610
    Unten rechts KachelX + 1 81589 KachelY + 1 114995 0.76953105 -1.38454543 44.090881 -79.328610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38453655--1.38454543) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38453655--1.38454543) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76948311-0.76953105) × cos(-1.38453655) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185184667514904 × 6371000     		do = 56.5601641123565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76948311-0.76953105) × cos(-1.38454543) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1851759410984 × 6371000     		du = 56.557498840138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38453655)-sin(-1.38454543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185184667514904-0.1851759410984)×R²
    abs(0.76953105-0.76948311)×8.72641650473405e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.72641650473405e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.72641650473405e-06×40589641000000     		ar = 3199.78648025862m²