Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81588 / 114984
↖ ↑ ↗
← S 79.323014°
E 44.088135°		 ← 56.59 m → S 79.323014°
E 44.090881°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
S 79.323522°
E 44.088135°		 ← 56.58 m →
3 201 m²		 S 79.323522°
E 44.090881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622470855712891 y=0.877262115478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622470855712891 × 217)
    floor (0.622470855712891 × 131072)
    floor (81588.5)     		tx = 81588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877262115478516 × 217)
    floor (0.877262115478516 × 131072)
    floor (114984.5)     		ty = 114984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81588 / 114984 ti = "17/81588/114984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81588/114984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81588 ÷ 217
    81588 ÷ 131072     		x = 0.622467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114984 ÷ 217
    114984 ÷ 131072     		y = 0.87725830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622467041015625 × 2 - 1) × π
    0.24493408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76948311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.7545166015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.37038381241254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76948311} λ = 0.76948311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37038381241254))-π/2
    2×atan(0.0934448540995141)-π/2
    2×0.0931742852690605-π/2
    0.186348570538121-1.57079632675     		φ = -1.38444776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76948311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.088135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38444776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.323014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81588 KachelY 114984 0.76948311 -1.38444776 44.088135 -79.323014
    Oben rechts KachelX + 1 81589 KachelY 114984 0.76953105 -1.38444776 44.090881 -79.323014
    Unten links KachelX 81588 KachelY + 1 114985 0.76948311 -1.38445664 44.088135 -79.323522
    Unten rechts KachelX + 1 81589 KachelY + 1 114985 0.76953105 -1.38445664 44.090881 -79.323522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38444776--1.38445664) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38444776--1.38445664) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76948311-0.76953105) × cos(-1.38444776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185271921049821 × 6371000     		do = 56.586813587826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76948311-0.76953105) × cos(-1.38445664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185263194779357 × 6371000     		du = 56.5841483602121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38444776)-sin(-1.38445664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185271921049821-0.185263194779357)×R²
    abs(0.76953105-0.76948311)×8.72627046397123e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.72627046397123e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.72627046397123e-06×40589641000000     		ar = 3201.29416164755m²