Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81587 / 20002
↖ ↑ ↗
← N 77.136389°
E 44.085388°		 ← 67.98 m → N 77.136389°
E 44.088135°		 →
↑
67.98 m
↓
↑
67.98 m
↓
N 77.135778°
E 44.085388°		 ← 67.99 m →
4 621 m²		 N 77.135778°
E 44.088135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622463226318359 y=0.152606964111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622463226318359 × 217)
    floor (0.622463226318359 × 131072)
    floor (81587.5)     		tx = 81587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152606964111328 × 217)
    floor (0.152606964111328 × 131072)
    floor (20002.5)     		ty = 20002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81587 / 20002 ti = "17/81587/20002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81587/20002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81587 ÷ 217
    81587 ÷ 131072     		x = 0.622459411621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20002 ÷ 217
    20002 ÷ 131072     		y = 0.152603149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622459411621094 × 2 - 1) × π
    0.244918823242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.76943518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152603149414062 × 2 - 1) × π
    0.694793701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18275878729964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76943518} λ = 0.76943518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18275878729964))-π/2
    2×atan(8.87074503126369)-π/2
    2×1.4585401431431-π/2
    2.91708028628621-1.57079632675     		φ = 1.34628396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76943518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.085388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34628396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.136389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81587 KachelY 20002 0.76943518 1.34628396 44.085388 77.136389
    Oben rechts KachelX + 1 81588 KachelY 20002 0.76948311 1.34628396 44.088135 77.136389
    Unten links KachelX 81587 KachelY + 1 20003 0.76943518 1.34627329 44.085388 77.135778
    Unten rechts KachelX + 1 81588 KachelY + 1 20003 0.76948311 1.34627329 44.088135 77.135778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34628396-1.34627329) × R
    1.06699999999904e-05 × 6371000     		dl = 67.9785699999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34628396-1.34627329) × R
    1.06699999999904e-05 × 6371000     		dr = 67.9785699999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76943518-0.76948311) × cos(1.34628396) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222630993650038 × 6371000     		do = 67.9830521619342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76943518-0.76948311) × cos(1.34627329) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222641395850083 × 6371000     		du = 67.9862285988565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34628396)-sin(1.34627329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222630993650038-0.222641395850083)×R²
    abs(0.76948311-0.76943518)×1.04022000451398e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04022000451398e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04022000451398e-05×40589641000000     		ar = 4621.49863513369m²