Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81587 / 114985
↖ ↑ ↗
← S 79.323522°
E 44.085388°		 ← 56.57 m → S 79.323522°
E 44.088135°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
S 79.324031°
E 44.085388°		 ← 56.57 m →
3 200 m²		 S 79.324031°
E 44.088135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622463226318359 y=0.877269744873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622463226318359 × 217)
    floor (0.622463226318359 × 131072)
    floor (81587.5)     		tx = 81587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877269744873047 × 217)
    floor (0.877269744873047 × 131072)
    floor (114985.5)     		ty = 114985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81587 / 114985 ti = "17/81587/114985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81587/114985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81587 ÷ 217
    81587 ÷ 131072     		x = 0.622459411621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114985 ÷ 217
    114985 ÷ 131072     		y = 0.877265930175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622459411621094 × 2 - 1) × π
    0.244918823242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.76943518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877265930175781 × 2 - 1) × π
    -0.754531860351562 × 3.1415926535     		Φ = -2.37043174931216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76943518} λ = 0.76943518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37043174931216))-π/2
    2×atan(0.093440374750287)-π/2
    2×0.0931698446928234-π/2
    0.186339689385647-1.57079632675     		φ = -1.38445664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76943518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.085388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38445664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.323522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81587 KachelY 114985 0.76943518 -1.38445664 44.085388 -79.323522
    Oben rechts KachelX + 1 81588 KachelY 114985 0.76948311 -1.38445664 44.088135 -79.323522
    Unten links KachelX 81587 KachelY + 1 114986 0.76943518 -1.38446552 44.085388 -79.324031
    Unten rechts KachelX + 1 81588 KachelY + 1 114986 0.76948311 -1.38446552 44.088135 -79.324031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38445664--1.38446552) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38445664--1.38446552) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76943518-0.76948311) × cos(-1.38445664) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185263194779357 × 6371000     		do = 56.5723452421444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76943518-0.76948311) × cos(-1.38446552) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185254468494284 × 6371000     		du = 56.5696805660203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38445664)-sin(-1.38446552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185263194779357-0.185254468494284)×R²
    abs(0.76948311-0.76943518)×8.72628507278539e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.72628507278539e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.72628507278539e-06×40589641000000     		ar = 3200.47563832698m²