Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81586 / 19739
↖ ↑ ↗
← N 77.296222°
E 44.082642°		 ← 67.17 m → N 77.296222°
E 44.085388°		 →
↑
67.21 m
↓
↑
67.21 m
↓
N 77.295618°
E 44.082642°		 ← 67.17 m →
4 515 m²		 N 77.295618°
E 44.085388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622455596923828 y=0.150600433349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622455596923828 × 217)
    floor (0.622455596923828 × 131072)
    floor (81586.5)     		tx = 81586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150600433349609 × 217)
    floor (0.150600433349609 × 131072)
    floor (19739.5)     		ty = 19739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81586 / 19739 ti = "17/81586/19739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81586/19739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81586 ÷ 217
    81586 ÷ 131072     		x = 0.622451782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19739 ÷ 217
    19739 ÷ 131072     		y = 0.150596618652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622451782226562 × 2 - 1) × π
    0.244903564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76938724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150596618652344 × 2 - 1) × π
    0.698806762695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.19536619189971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76938724} λ = 0.76938724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19536619189971))-π/2
    2×atan(8.98329006263267)-π/2
    2×1.45993495147757-π/2
    2.91986990295513-1.57079632675     		φ = 1.34907358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76938724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.082642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34907358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.296222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81586 KachelY 19739 0.76938724 1.34907358 44.082642 77.296222
    Oben rechts KachelX + 1 81587 KachelY 19739 0.76943518 1.34907358 44.085388 77.296222
    Unten links KachelX 81586 KachelY + 1 19740 0.76938724 1.34906303 44.082642 77.295618
    Unten rechts KachelX + 1 81587 KachelY + 1 19740 0.76943518 1.34906303 44.085388 77.295618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34907358-1.34906303) × R
    1.05500000000536e-05 × 6371000     		dl = 67.2140500003413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34907358-1.34906303) × R
    1.05500000000536e-05 × 6371000     		dr = 67.2140500003413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76938724-0.76943518) × cos(1.34907358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219910522615221 × 6371000     		do = 67.1663341034967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76938724-0.76943518) × cos(1.34906303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219920814339479 × 6371000     		du = 67.1694774609938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34907358)-sin(1.34906303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219910522615221-0.219920814339479)×R²
    abs(0.76943518-0.76938724)×1.02917242570943e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02917242570943e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02917242570943e-05×40589641000000     		ar = 4514.62697763906m²