Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81586 / 115031
↖ ↑ ↗
← S 79.346904°
E 44.082642°		 ← 56.46 m → S 79.346904°
E 44.085388°		 →
↑
56.45 m
↓
↑
56.45 m
↓
S 79.347411°
E 44.082642°		 ← 56.46 m →
3 187 m²		 S 79.347411°
E 44.085388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622455596923828 y=0.877620697021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622455596923828 × 217)
    floor (0.622455596923828 × 131072)
    floor (81586.5)     		tx = 81586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877620697021484 × 217)
    floor (0.877620697021484 × 131072)
    floor (115031.5)     		ty = 115031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81586 / 115031 ti = "17/81586/115031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81586/115031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81586 ÷ 217
    81586 ÷ 131072     		x = 0.622451782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115031 ÷ 217
    115031 ÷ 131072     		y = 0.877616882324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622451782226562 × 2 - 1) × π
    0.244903564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76938724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877616882324219 × 2 - 1) × π
    -0.755233764648438 × 3.1415926535     		Φ = -2.37263684669468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76938724} λ = 0.76938724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37263684669468))-π/2
    2×atan(0.0932345566323982)-π/2
    2×0.0929658041528399-π/2
    0.18593160830568-1.57079632675     		φ = -1.38486472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76938724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.082642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38486472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.346904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81586 KachelY 115031 0.76938724 -1.38486472 44.082642 -79.346904
    Oben rechts KachelX + 1 81587 KachelY 115031 0.76943518 -1.38486472 44.085388 -79.346904
    Unten links KachelX 81586 KachelY + 1 115032 0.76938724 -1.38487358 44.082642 -79.347411
    Unten rechts KachelX + 1 81587 KachelY + 1 115032 0.76943518 -1.38487358 44.085388 -79.347411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38486472--1.38487358) × R
    8.86000000011045e-06 × 6371000     		dl = 56.4470600007037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38486472--1.38487358) × R
    8.86000000011045e-06 × 6371000     		dr = 56.4470600007037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76938724-0.76943518) × cos(-1.38486472) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184862163662838 × 6371000     		do = 56.4616631346862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76938724-0.76943518) × cos(-1.38487358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184853456362481 × 6371000     		du = 56.4590037010316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38486472)-sin(-1.38487358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184862163662838-0.184853456362481)×R²
    abs(0.76943518-0.76938724)×8.70730035609779e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.70730035609779e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.70730035609779e-06×40589641000000     		ar = 3187.01982822842m²