Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81582 / 115016
↖ ↑ ↗
← S 79.339285°
E 44.071655°		 ← 56.50 m → S 79.339285°
E 44.074402°		 →
↑
56.45 m
↓
↑
56.45 m
↓
S 79.339793°
E 44.071655°		 ← 56.50 m →
3 189 m²		 S 79.339793°
E 44.074402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622425079345703 y=0.877506256103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622425079345703 × 217)
    floor (0.622425079345703 × 131072)
    floor (81582.5)     		tx = 81582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877506256103516 × 217)
    floor (0.877506256103516 × 131072)
    floor (115016.5)     		ty = 115016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81582 / 115016 ti = "17/81582/115016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81582/115016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81582 ÷ 217
    81582 ÷ 131072     		x = 0.622421264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115016 ÷ 217
    115016 ÷ 131072     		y = 0.87750244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622421264648438 × 2 - 1) × π
    0.244842529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76919549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.7550048828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37191779320038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76919549} λ = 0.76919549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37191779320038))-π/2
    2×atan(0.0933016213748134)-π/2
    2×0.0930322905344244-π/2
    0.186064581068849-1.57079632675     		φ = -1.38473175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76919549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.071655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38473175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.339285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81582 KachelY 115016 0.76919549 -1.38473175 44.071655 -79.339285
    Oben rechts KachelX + 1 81583 KachelY 115016 0.76924343 -1.38473175 44.074402 -79.339285
    Unten links KachelX 81582 KachelY + 1 115017 0.76919549 -1.38474061 44.071655 -79.339793
    Unten rechts KachelX + 1 81583 KachelY + 1 115017 0.76924343 -1.38474061 44.074402 -79.339793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38473175--1.38474061) × R
    8.8599999998884e-06 × 6371000     		dl = 56.447059999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38473175--1.38474061) × R
    8.8599999998884e-06 × 6371000     		dr = 56.447059999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76919549-0.76924343) × cos(-1.38473175) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184992840218193 × 6371000     		do = 56.5015751183063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76919549-0.76924343) × cos(-1.38474061) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184984133135698 × 6371000     		du = 56.498915751192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38473175)-sin(-1.38474061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184992840218193-0.184984133135698)×R²
    abs(0.76924343-0.76919549)×8.70708249528507e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.70708249528507e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.70708249528507e-06×40589641000000     		ar = 3189.27274413834m²