Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81582 / 115014
↖ ↑ ↗
← S 79.338269°
E 44.071655°		 ← 56.51 m → S 79.338269°
E 44.074402°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
S 79.338777°
E 44.071655°		 ← 56.50 m →
3 193 m²		 S 79.338777°
E 44.074402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622425079345703 y=0.877490997314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622425079345703 × 217)
    floor (0.622425079345703 × 131072)
    floor (81582.5)     		tx = 81582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877490997314453 × 217)
    floor (0.877490997314453 × 131072)
    floor (115014.5)     		ty = 115014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81582 / 115014 ti = "17/81582/115014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81582/115014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81582 ÷ 217
    81582 ÷ 131072     		x = 0.622421264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115014 ÷ 217
    115014 ÷ 131072     		y = 0.877487182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622421264648438 × 2 - 1) × π
    0.244842529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76919549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877487182617188 × 2 - 1) × π
    -0.754974365234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37182191940114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76919549} λ = 0.76919549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37182191940114))-π/2
    2×atan(0.0933105669845478)-π/2
    2×0.0930411589356167-π/2
    0.186082317871233-1.57079632675     		φ = -1.38471401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76919549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.071655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38471401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.338269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81582 KachelY 115014 0.76919549 -1.38471401 44.071655 -79.338269
    Oben rechts KachelX + 1 81583 KachelY 115014 0.76924343 -1.38471401 44.074402 -79.338269
    Unten links KachelX 81582 KachelY + 1 115015 0.76919549 -1.38472288 44.071655 -79.338777
    Unten rechts KachelX + 1 81583 KachelY + 1 115015 0.76924343 -1.38472288 44.074402 -79.338777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38471401--1.38472288) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38471401--1.38472288) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76919549-0.76924343) × cos(-1.38471401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185010273994349 × 6371000     		do = 56.5068998422899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76919549-0.76924343) × cos(-1.38472288) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185001557113549 × 6371000     		du = 56.5042374825209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38471401)-sin(-1.38472288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185010273994349-0.185001557113549)×R²
    abs(0.76924343-0.76919549)×8.71688080050781e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.71688080050781e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.71688080050781e-06×40589641000000     		ar = 3193.17319429436m²