Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81581 / 19744
↖ ↑ ↗
← N 77.293202°
E 44.068908°		 ← 67.18 m → N 77.293202°
E 44.071655°		 →
↑
67.15 m
↓
↑
67.15 m
↓
N 77.292598°
E 44.068908°		 ← 67.19 m →
4 511 m²		 N 77.292598°
E 44.071655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622417449951172 y=0.150638580322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622417449951172 × 217)
    floor (0.622417449951172 × 131072)
    floor (81581.5)     		tx = 81581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150638580322266 × 217)
    floor (0.150638580322266 × 131072)
    floor (19744.5)     		ty = 19744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81581 / 19744 ti = "17/81581/19744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81581/19744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81581 ÷ 217
    81581 ÷ 131072     		x = 0.622413635253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19744 ÷ 217
    19744 ÷ 131072     		y = 0.150634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622413635253906 × 2 - 1) × π
    0.244827270507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.76914755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150634765625 × 2 - 1) × π
    0.69873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19512650740161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76914755} λ = 0.76914755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19512650740161))-π/2
    2×atan(8.98113716528109)-π/2
    2×1.45990859382419-π/2
    2.91981718764839-1.57079632675     		φ = 1.34902086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76914755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.068908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34902086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.293202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81581 KachelY 19744 0.76914755 1.34902086 44.068908 77.293202
    Oben rechts KachelX + 1 81582 KachelY 19744 0.76919549 1.34902086 44.071655 77.293202
    Unten links KachelX 81581 KachelY + 1 19745 0.76914755 1.34901032 44.068908 77.292598
    Unten rechts KachelX + 1 81582 KachelY + 1 19745 0.76919549 1.34901032 44.071655 77.292598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34902086-1.34901032) × R
    1.05399999998923e-05 × 6371000     		dl = 67.1503399993139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34902086-1.34901032) × R
    1.05399999998923e-05 × 6371000     		dr = 67.1503399993139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76914755-0.76919549) × cos(1.34902086) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219961951726465 × 6371000     		do = 67.1820418778556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76914755-0.76919549) × cos(1.34901032) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21997223357333 × 6371000     		du = 67.185182218543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34902086)-sin(1.34901032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219961951726465-0.21997223357333)×R²
    abs(0.76919549-0.76914755)×1.02818468651067e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02818468651067e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02818468651067e-05×40589641000000     		ar = 4511.40239154069m²