Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81580 / 115012
↖ ↑ ↗
← S 79.337252°
E 44.066162°		 ← 56.50 m → S 79.337252°
E 44.068908°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
S 79.337760°
E 44.066162°		 ← 56.50 m →
3 193 m²		 S 79.337760°
E 44.068908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622409820556641 y=0.877475738525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622409820556641 × 217)
    floor (0.622409820556641 × 131072)
    floor (81580.5)     		tx = 81580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877475738525391 × 217)
    floor (0.877475738525391 × 131072)
    floor (115012.5)     		ty = 115012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81580 / 115012 ti = "17/81580/115012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81580/115012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81580 ÷ 217
    81580 ÷ 131072     		x = 0.622406005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115012 ÷ 217
    115012 ÷ 131072     		y = 0.877471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622406005859375 × 2 - 1) × π
    0.24481201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76909962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.75494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.3717260456019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76909962} λ = 0.76909962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3717260456019))-π/2
    2×atan(0.0933195134519729)-π/2
    2×0.0930500281724174-π/2
    0.186100056344835-1.57079632675     		φ = -1.38469627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76909962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.066162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38469627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.337252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81580 KachelY 115012 0.76909962 -1.38469627 44.066162 -79.337252
    Oben rechts KachelX + 1 81581 KachelY 115012 0.76914755 -1.38469627 44.068908 -79.337252
    Unten links KachelX 81580 KachelY + 1 115013 0.76909962 -1.38470514 44.066162 -79.337760
    Unten rechts KachelX + 1 81581 KachelY + 1 115013 0.76914755 -1.38470514 44.068908 -79.337760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38469627--1.38470514) × R
    8.86999999982763e-06 × 6371000     		dl = 56.5107699989018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38469627--1.38470514) × R
    8.86999999982763e-06 × 6371000     		dr = 56.5107699989018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76909962-0.76914755) × cos(-1.38469627) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185027707712282 × 6371000     		do = 56.5004364333035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76909962-0.76914755) × cos(-1.38470514) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185018990860594 × 6371000     		du = 56.497774637777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38469627)-sin(-1.38470514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185027707712282-0.185018990860594)×R²
    abs(0.76914755-0.76909962)×8.71685168754577e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.71685168754577e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.71685168754577e-06×40589641000000     		ar = 3192.80795798899m²