Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81574 / 19758
↖ ↑ ↗
← N 77.284741°
E 44.049683°		 ← 67.21 m → N 77.284741°
E 44.052429°		 →
↑
67.21 m
↓
↑
67.21 m
↓
N 77.284136°
E 44.049683°		 ← 67.22 m →
4 518 m²		 N 77.284136°
E 44.052429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622364044189453 y=0.150745391845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622364044189453 × 217)
    floor (0.622364044189453 × 131072)
    floor (81574.5)     		tx = 81574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150745391845703 × 217)
    floor (0.150745391845703 × 131072)
    floor (19758.5)     		ty = 19758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81574 / 19758 ti = "17/81574/19758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81574/19758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81574 ÷ 217
    81574 ÷ 131072     		x = 0.622360229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19758 ÷ 217
    19758 ÷ 131072     		y = 0.150741577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622360229492188 × 2 - 1) × π
    0.244720458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76881200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150741577148438 × 2 - 1) × π
    0.698516845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19445539080693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76881200} λ = 0.76881200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19445539080693))-π/2
    2×atan(8.97511179717877)-π/2
    2×1.45983475960049-π/2
    2.91966951920097-1.57079632675     		φ = 1.34887319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76881200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.049683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34887319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.284741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81574 KachelY 19758 0.76881200 1.34887319 44.049683 77.284741
    Oben rechts KachelX + 1 81575 KachelY 19758 0.76885993 1.34887319 44.052429 77.284741
    Unten links KachelX 81574 KachelY + 1 19759 0.76881200 1.34886264 44.049683 77.284136
    Unten rechts KachelX + 1 81575 KachelY + 1 19759 0.76885993 1.34886264 44.052429 77.284136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34887319-1.34886264) × R
    1.05500000000536e-05 × 6371000     		dl = 67.2140500003413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34887319-1.34886264) × R
    1.05500000000536e-05 × 6371000     		dr = 67.2140500003413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76881200-0.76885993) × cos(1.34887319) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.220106002660746 × 6371000     		do = 67.2120157875561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76881200-0.76885993) × cos(1.34886264) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.220116293919869 × 6371000     		du = 67.2151583473334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34887319)-sin(1.34886264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220106002660746-0.220116293919869)×R²
    abs(0.76885993-0.76881200)×1.02912591235793e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.02912591235793e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.02912591235793e-05×40589641000000     		ar = 4517.69740175094m²