Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81573 / 19997
↖ ↑ ↗
← N 77.139446°
E 44.046936°		 ← 67.98 m → N 77.139446°
E 44.049683°		 →
↑
67.98 m
↓
↑
67.98 m
↓
N 77.138834°
E 44.046936°		 ← 67.98 m →
4 621 m²		 N 77.138834°
E 44.049683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622356414794922 y=0.152568817138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622356414794922 × 217)
    floor (0.622356414794922 × 131072)
    floor (81573.5)     		tx = 81573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152568817138672 × 217)
    floor (0.152568817138672 × 131072)
    floor (19997.5)     		ty = 19997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81573 / 19997 ti = "17/81573/19997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81573/19997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81573 ÷ 217
    81573 ÷ 131072     		x = 0.622352600097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19997 ÷ 217
    19997 ÷ 131072     		y = 0.152565002441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622352600097656 × 2 - 1) × π
    0.244705200195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.76876406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152565002441406 × 2 - 1) × π
    0.694869995117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.18299847179774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76876406} λ = 0.76876406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18299847179774))-π/2
    2×atan(8.87287146616085)-π/2
    2×1.45856682062517-π/2
    2.91713364125033-1.57079632675     		φ = 1.34633731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76876406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.046936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34633731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.139446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81573 KachelY 19997 0.76876406 1.34633731 44.046936 77.139446
    Oben rechts KachelX + 1 81574 KachelY 19997 0.76881200 1.34633731 44.049683 77.139446
    Unten links KachelX 81573 KachelY + 1 19998 0.76876406 1.34632664 44.046936 77.138834
    Unten rechts KachelX + 1 81574 KachelY + 1 19998 0.76881200 1.34632664 44.049683 77.138834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34633731-1.34632664) × R
    1.06699999999904e-05 × 6371000     		dl = 67.9785699999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34633731-1.34632664) × R
    1.06699999999904e-05 × 6371000     		dr = 67.9785699999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76876406-0.76881200) × cos(1.34633731) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.222578982269641 × 6371000     		do = 67.9813503682649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76876406-0.76881200) × cos(1.34632664) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.222589384596406 × 6371000     		du = 67.9845275066148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34633731)-sin(1.34632664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222578982269641-0.222589384596406)×R²
    abs(0.76881200-0.76876406)×1.04023267647746e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.04023267647746e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.04023267647746e-05×40589641000000     		ar = 4621.38297327566m²