Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81573 / 19740
↖ ↑ ↗
← N 77.295618°
E 44.046936°		 ← 67.17 m → N 77.295618°
E 44.049683°		 →
↑
67.15 m
↓
↑
67.15 m
↓
N 77.295014°
E 44.046936°		 ← 67.17 m →
4 511 m²		 N 77.295014°
E 44.049683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622356414794922 y=0.150608062744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622356414794922 × 217)
    floor (0.622356414794922 × 131072)
    floor (81573.5)     		tx = 81573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150608062744141 × 217)
    floor (0.150608062744141 × 131072)
    floor (19740.5)     		ty = 19740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81573 / 19740 ti = "17/81573/19740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81573/19740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81573 ÷ 217
    81573 ÷ 131072     		x = 0.622352600097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19740 ÷ 217
    19740 ÷ 131072     		y = 0.150604248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622352600097656 × 2 - 1) × π
    0.244705200195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.76876406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150604248046875 × 2 - 1) × π
    0.69879150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19531825500009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76876406} λ = 0.76876406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19531825500009))-π/2
    2×atan(8.98285944188007)-π/2
    2×1.45992968043991-π/2
    2.91985936087981-1.57079632675     		φ = 1.34906303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76876406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.046936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34906303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.295618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81573 KachelY 19740 0.76876406 1.34906303 44.046936 77.295618
    Oben rechts KachelX + 1 81574 KachelY 19740 0.76881200 1.34906303 44.049683 77.295618
    Unten links KachelX 81573 KachelY + 1 19741 0.76876406 1.34905249 44.046936 77.295014
    Unten rechts KachelX + 1 81574 KachelY + 1 19741 0.76881200 1.34905249 44.049683 77.295014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34906303-1.34905249) × R
    1.05399999998923e-05 × 6371000     		dl = 67.1503399993139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34906303-1.34905249) × R
    1.05399999998923e-05 × 6371000     		dr = 67.1503399993139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76876406-0.76881200) × cos(1.34906303) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.219920814339479 × 6371000     		do = 67.1694774611494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76876406-0.76881200) × cos(1.34905249) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.219931096284104 × 6371000     		du = 67.1726178316951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34906303)-sin(1.34905249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219920814339479-0.219931096284104)×R²
    abs(0.76881200-0.76876406)×1.02819446251567e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.02819446251567e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.02819446251567e-05×40589641000000     		ar = 4510.55868755982m²