Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81572 / 19979
↖ ↑ ↗
← N 77.150445°
E 44.044189°		 ← 67.92 m → N 77.150445°
E 44.046936°		 →
↑
67.91 m
↓
↑
67.91 m
↓
N 77.149835°
E 44.044189°		 ← 67.93 m →
4 613 m²		 N 77.149835°
E 44.046936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622348785400391 y=0.152431488037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622348785400391 × 217)
    floor (0.622348785400391 × 131072)
    floor (81572.5)     		tx = 81572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152431488037109 × 217)
    floor (0.152431488037109 × 131072)
    floor (19979.5)     		ty = 19979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81572 / 19979 ti = "17/81572/19979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81572/19979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81572 ÷ 217
    81572 ÷ 131072     		x = 0.622344970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19979 ÷ 217
    19979 ÷ 131072     		y = 0.152427673339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622344970703125 × 2 - 1) × π
    0.24468994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76871612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152427673339844 × 2 - 1) × π
    0.695144653320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.1838613359909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76871612} λ = 0.76871612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1838613359909))-π/2
    2×atan(8.88053085326973)-π/2
    2×1.45866280796083-π/2
    2.91732561592167-1.57079632675     		φ = 1.34652929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76871612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.044189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34652929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.150445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81572 KachelY 19979 0.76871612 1.34652929 44.044189 77.150445
    Oben rechts KachelX + 1 81573 KachelY 19979 0.76876406 1.34652929 44.046936 77.150445
    Unten links KachelX 81572 KachelY + 1 19980 0.76871612 1.34651863 44.044189 77.149835
    Unten rechts KachelX + 1 81573 KachelY + 1 19980 0.76876406 1.34651863 44.046936 77.149835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34652929-1.34651863) × R
    1.06600000000512e-05 × 6371000     		dl = 67.9148600003261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34652929-1.34651863) × R
    1.06600000000512e-05 × 6371000     		dr = 67.9148600003261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76871612-0.76876406) × cos(1.34652929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22239181405241 × 6371000     		do = 67.9241843768551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76871612-0.76876406) × cos(1.34651863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22240220708538 × 6371000     		du = 67.9273586766409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34652929)-sin(1.34651863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22239181405241-0.22240220708538)×R²
    abs(0.76876406-0.76871612)×1.03930329704571e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03930329704571e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03930329704571e-05×40589641000000     		ar = 4613.16926373681m²