Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81567 / 19753
↖ ↑ ↗
← N 77.287763°
E 44.030457°		 ← 67.20 m → N 77.287763°
E 44.033203°		 →
↑
67.21 m
↓
↑
67.21 m
↓
N 77.287159°
E 44.030457°		 ← 67.20 m →
4 517 m²		 N 77.287159°
E 44.033203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622310638427734 y=0.150707244873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622310638427734 × 217)
    floor (0.622310638427734 × 131072)
    floor (81567.5)     		tx = 81567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150707244873047 × 217)
    floor (0.150707244873047 × 131072)
    floor (19753.5)     		ty = 19753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81567 / 19753 ti = "17/81567/19753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81567/19753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81567 ÷ 217
    81567 ÷ 131072     		x = 0.622306823730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19753 ÷ 217
    19753 ÷ 131072     		y = 0.150703430175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622306823730469 × 2 - 1) × π
    0.244613647460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.76847644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150703430175781 × 2 - 1) × π
    0.698593139648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.19469507530503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76847644} λ = 0.76847644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19469507530503))-π/2
    2×atan(8.97726325016994)-π/2
    2×1.45986113451515-π/2
    2.9197222690303-1.57079632675     		φ = 1.34892594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76847644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.030457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34892594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.287763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81567 KachelY 19753 0.76847644 1.34892594 44.030457 77.287763
    Oben rechts KachelX + 1 81568 KachelY 19753 0.76852437 1.34892594 44.033203 77.287763
    Unten links KachelX 81567 KachelY + 1 19754 0.76847644 1.34891539 44.030457 77.287159
    Unten rechts KachelX + 1 81568 KachelY + 1 19754 0.76852437 1.34891539 44.033203 77.287159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34892594-1.34891539) × R
    1.05500000000536e-05 × 6371000     		dl = 67.2140500003413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34892594-1.34891539) × R
    1.05500000000536e-05 × 6371000     		dr = 67.2140500003413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76847644-0.76852437) × cos(1.34892594) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.220054545997676 × 6371000     		do = 67.1963028764641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76847644-0.76852437) × cos(1.34891539) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.22006483737928 × 6371000     		du = 67.1994454736422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34892594)-sin(1.34891539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220054545997676-0.22006483737928)×R²
    abs(0.76852437-0.76847644)×1.02913816038552e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.02913816038552e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.02913816038552e-05×40589641000000     		ar = 4516.64127474192m²