Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81563 / 115004
↖ ↑ ↗
← S 79.333186°
E 44.019470°		 ← 56.53 m → S 79.333186°
E 44.022217°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
S 79.333694°
E 44.019470°		 ← 56.53 m →
3 195 m²		 S 79.333694°
E 44.022217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622280120849609 y=0.877414703369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622280120849609 × 217)
    floor (0.622280120849609 × 131072)
    floor (81563.5)     		tx = 81563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877414703369141 × 217)
    floor (0.877414703369141 × 131072)
    floor (115004.5)     		ty = 115004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81563 / 115004 ti = "17/81563/115004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81563/115004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81563 ÷ 217
    81563 ÷ 131072     		x = 0.622276306152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115004 ÷ 217
    115004 ÷ 131072     		y = 0.877410888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622276306152344 × 2 - 1) × π
    0.244552612304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.76828469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.75482177734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37134255040494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76828469} λ = 0.76828469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37134255040494))-π/2
    2×atan(0.0933553079002252)-π/2
    2×0.0930855134772245-π/2
    0.186171026954449-1.57079632675     		φ = -1.38462530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76828469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.019470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38462530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.333186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81563 KachelY 115004 0.76828469 -1.38462530 44.019470 -79.333186
    Oben rechts KachelX + 1 81564 KachelY 115004 0.76833263 -1.38462530 44.022217 -79.333186
    Unten links KachelX 81563 KachelY + 1 115005 0.76828469 -1.38463417 44.019470 -79.333694
    Unten rechts KachelX + 1 81564 KachelY + 1 115005 0.76833263 -1.38463417 44.022217 -79.333694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38462530--1.38463417) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38462530--1.38463417) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76828469-0.76833263) × cos(-1.38462530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185097451828861 × 6371000     		do = 56.5335261969071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76828469-0.76833263) × cos(-1.38463417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185088735093668 × 6371000     		du = 56.5308638816105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38462530)-sin(-1.38463417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185097451828861-0.185088735093668)×R²
    abs(0.76833263-0.76828469)×8.71673519289851e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.71673519289851e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.71673519289851e-06×40589641000000     		ar = 3194.67787150506m²