Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81562 / 115137
↖ ↑ ↗
← S 79.400590°
E 44.016723°		 ← 56.18 m → S 79.400590°
E 44.019470°		 →
↑
56.19 m
↓
↑
56.19 m
↓
S 79.401095°
E 44.016723°		 ← 56.18 m →
3 157 m²		 S 79.401095°
E 44.019470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622272491455078 y=0.878429412841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622272491455078 × 217)
    floor (0.622272491455078 × 131072)
    floor (81562.5)     		tx = 81562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878429412841797 × 217)
    floor (0.878429412841797 × 131072)
    floor (115137.5)     		ty = 115137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81562 / 115137 ti = "17/81562/115137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81562/115137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81562 ÷ 217
    81562 ÷ 131072     		x = 0.622268676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115137 ÷ 217
    115137 ÷ 131072     		y = 0.878425598144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622268676757812 × 2 - 1) × π
    0.244537353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76823675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878425598144531 × 2 - 1) × π
    -0.756851196289062 × 3.1415926535     		Φ = -2.37771815805441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76823675} λ = 0.76823675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37771815805441))-π/2
    2×atan(0.0927620044298639)-π/2
    2×0.0924973038678547-π/2
    0.184994607735709-1.57079632675     		φ = -1.38580172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76823675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.016723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38580172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.400590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81562 KachelY 115137 0.76823675 -1.38580172 44.016723 -79.400590
    Oben rechts KachelX + 1 81563 KachelY 115137 0.76828469 -1.38580172 44.019470 -79.400590
    Unten links KachelX 81562 KachelY + 1 115138 0.76823675 -1.38581054 44.016723 -79.401095
    Unten rechts KachelX + 1 81563 KachelY + 1 115138 0.76828469 -1.38581054 44.019470 -79.401095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38580172--1.38581054) × R
    8.8200000001315e-06 × 6371000     		dl = 56.1922200008378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38580172--1.38581054) × R
    8.8200000001315e-06 × 6371000     		dr = 56.1922200008378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76823675-0.76828469) × cos(-1.38580172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183941232348563 × 6371000     		do = 56.1803870065349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76823675-0.76828469) × cos(-1.38581054) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183932562834928 × 6371000     		du = 56.1777391139175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38580172)-sin(-1.38581054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183941232348563-0.183932562834928)×R²
    abs(0.76828469-0.76823675)×8.66951363504009e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.66951363504009e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.66951363504009e-06×40589641000000     		ar = 3156.82627097645m²