Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81561 / 115138
↖ ↑ ↗
← S 79.401095°
E 44.013977°		 ← 56.17 m → S 79.401095°
E 44.016723°		 →
↑
56.13 m
↓
↑
56.13 m
↓
S 79.401600°
E 44.013977°		 ← 56.16 m →
3 152 m²		 S 79.401600°
E 44.016723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622264862060547 y=0.878437042236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622264862060547 × 217)
    floor (0.622264862060547 × 131072)
    floor (81561.5)     		tx = 81561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878437042236328 × 217)
    floor (0.878437042236328 × 131072)
    floor (115138.5)     		ty = 115138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81561 / 115138 ti = "17/81561/115138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81561/115138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81561 ÷ 217
    81561 ÷ 131072     		x = 0.622261047363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115138 ÷ 217
    115138 ÷ 131072     		y = 0.878433227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622261047363281 × 2 - 1) × π
    0.244522094726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.76818882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878433227539062 × 2 - 1) × π
    -0.756866455078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37776609495403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76818882} λ = 0.76818882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37776609495403))-π/2
    2×atan(0.0927575578135483)-π/2
    2×0.0924928951855041-π/2
    0.184985790371008-1.57079632675     		φ = -1.38581054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76818882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.013977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38581054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.401095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81561 KachelY 115138 0.76818882 -1.38581054 44.013977 -79.401095
    Oben rechts KachelX + 1 81562 KachelY 115138 0.76823675 -1.38581054 44.016723 -79.401095
    Unten links KachelX 81561 KachelY + 1 115139 0.76818882 -1.38581935 44.013977 -79.401600
    Unten rechts KachelX + 1 81562 KachelY + 1 115139 0.76823675 -1.38581935 44.016723 -79.401600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38581054--1.38581935) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dl = 56.1285099998103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38581054--1.38581935) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dr = 56.1285099998103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76818882-0.76823675) × cos(-1.38581054) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183932562834928 × 6371000     		do = 56.1660207704105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76818882-0.76823675) × cos(-1.38581935) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183923903136389 × 6371000     		du = 56.1633764272856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38581054)-sin(-1.38581935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183932562834928-0.183923903136389)×R²
    abs(0.76823675-0.76818882)×8.65969853858228e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.65969853858228e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.65969853858228e-06×40589641000000     		ar = 3152.44084706385m²