Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81560 / 115226
↖ ↑ ↗
← S 79.445459°
E 44.011230°		 ← 55.95 m → S 79.445459°
E 44.013977°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
S 79.445962°
E 44.011230°		 ← 55.94 m →
3 129 m²		 S 79.445962°
E 44.013977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622257232666016 y=0.879108428955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622257232666016 × 217)
    floor (0.622257232666016 × 131072)
    floor (81560.5)     		tx = 81560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879108428955078 × 217)
    floor (0.879108428955078 × 131072)
    floor (115226.5)     		ty = 115226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81560 / 115226 ti = "17/81560/115226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81560/115226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81560 ÷ 217
    81560 ÷ 131072     		x = 0.62225341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115226 ÷ 217
    115226 ÷ 131072     		y = 0.879104614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62225341796875 × 2 - 1) × π
    0.2445068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76814088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879104614257812 × 2 - 1) × π
    -0.758209228515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.38198454212059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76814088} λ = 0.76814088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38198454212059))-π/2
    2×atan(0.0923670891214283)-π/2
    2×0.0921057435297911-π/2
    0.184211487059582-1.57079632675     		φ = -1.38658484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76814088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.011230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38658484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.445459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81560 KachelY 115226 0.76814088 -1.38658484 44.011230 -79.445459
    Oben rechts KachelX + 1 81561 KachelY 115226 0.76818882 -1.38658484 44.013977 -79.445459
    Unten links KachelX 81560 KachelY + 1 115227 0.76814088 -1.38659362 44.011230 -79.445962
    Unten rechts KachelX + 1 81561 KachelY + 1 115227 0.76818882 -1.38659362 44.013977 -79.445962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38658484--1.38659362) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dl = 55.9373799995573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38658484--1.38659362) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dr = 55.9373799995573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76814088-0.76818882) × cos(-1.38658484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183171418210302 × 6371000     		do = 55.9452659536942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76814088-0.76818882) × cos(-1.38659362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183162786752156 × 6371000     		du = 55.9426296842026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38658484)-sin(-1.38659362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183171418210302-0.183162786752156)×R²
    abs(0.76818882-0.76814088)×8.63145814619659e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.63145814619659e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.63145814619659e-06×40589641000000     		ar = 3129.35786783005m²