Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81559 / 115222
↖ ↑ ↗
← S 79.443446°
E 44.008484°		 ← 55.96 m → S 79.443446°
E 44.011230°		 →
↑
56 m
↓
↑
56 m
↓
S 79.443950°
E 44.008484°		 ← 55.95 m →
3 134 m²		 S 79.443950°
E 44.011230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622249603271484 y=0.879077911376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622249603271484 × 217)
    floor (0.622249603271484 × 131072)
    floor (81559.5)     		tx = 81559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879077911376953 × 217)
    floor (0.879077911376953 × 131072)
    floor (115222.5)     		ty = 115222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81559 / 115222 ti = "17/81559/115222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81559/115222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81559 ÷ 217
    81559 ÷ 131072     		x = 0.622245788574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115222 ÷ 217
    115222 ÷ 131072     		y = 0.879074096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622245788574219 × 2 - 1) × π
    0.244491577148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.76809294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879074096679688 × 2 - 1) × π
    -0.758148193359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.38179279452211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76809294} λ = 0.76809294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38179279452211))-π/2
    2×atan(0.0923848019870913)-π/2
    2×0.0921233065248787-π/2
    0.184246613049757-1.57079632675     		φ = -1.38654971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76809294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.008484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38654971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.443446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81559 KachelY 115222 0.76809294 -1.38654971 44.008484 -79.443446
    Oben rechts KachelX + 1 81560 KachelY 115222 0.76814088 -1.38654971 44.011230 -79.443446
    Unten links KachelX 81559 KachelY + 1 115223 0.76809294 -1.38655850 44.008484 -79.443950
    Unten rechts KachelX + 1 81560 KachelY + 1 115223 0.76814088 -1.38655850 44.011230 -79.443950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38654971--1.38655850) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dl = 56.0010900005847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38654971--1.38655850) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dr = 56.0010900005847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76809294-0.76814088) × cos(-1.38654971) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183205953732422 × 6371000     		do = 55.9558139912236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76809294-0.76814088) × cos(-1.38655850) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183197312500016 × 6371000     		du = 55.9531747364214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38654971)-sin(-1.38655850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183205953732422-0.183197312500016)×R²
    abs(0.76814088-0.76809294)×8.64123240634784e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.64123240634784e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.64123240634784e-06×40589641000000     		ar = 3133.51267463064m²