Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81558 / 115221
↖ ↑ ↗
← S 79.442943°
E 44.005738°		 ← 55.95 m → S 79.442943°
E 44.008484°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
S 79.443446°
E 44.005738°		 ← 55.94 m →
3 129 m²		 S 79.443446°
E 44.008484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622241973876953 y=0.879070281982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622241973876953 × 217)
    floor (0.622241973876953 × 131072)
    floor (81558.5)     		tx = 81558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879070281982422 × 217)
    floor (0.879070281982422 × 131072)
    floor (115221.5)     		ty = 115221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81558 / 115221 ti = "17/81558/115221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81558/115221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81558 ÷ 217
    81558 ÷ 131072     		x = 0.622238159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115221 ÷ 217
    115221 ÷ 131072     		y = 0.879066467285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622238159179688 × 2 - 1) × π
    0.244476318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76804501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879066467285156 × 2 - 1) × π
    -0.758132934570312 × 3.1415926535     		Φ = -2.38174485762249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76804501} λ = 0.76804501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38174485762249))-π/2
    2×atan(0.09238923073422)-π/2
    2×0.092127697790967-π/2
    0.184255395581934-1.57079632675     		φ = -1.38654093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76804501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.005738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38654093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.442943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81558 KachelY 115221 0.76804501 -1.38654093 44.005738 -79.442943
    Oben rechts KachelX + 1 81559 KachelY 115221 0.76809294 -1.38654093 44.008484 -79.442943
    Unten links KachelX 81558 KachelY + 1 115222 0.76804501 -1.38654971 44.005738 -79.443446
    Unten rechts KachelX + 1 81559 KachelY + 1 115222 0.76809294 -1.38654971 44.008484 -79.443446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38654093--1.38654971) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dl = 55.9373799995573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38654093--1.38654971) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dr = 55.9373799995573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76804501-0.76809294) × cos(-1.38654093) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.183214585119943 × 6371000     		do = 55.9467776377384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76804501-0.76809294) × cos(-1.38654971) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.183205953732422 × 6371000     		du = 55.9441419397231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38654093)-sin(-1.38654971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183214585119943-0.183205953732422)×R²
    abs(0.76809294-0.76804501)×8.63138752149606e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.63138752149606e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.63138752149606e-06×40589641000000     		ar = 3129.44244355564m²