Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81556 / 115145
↖ ↑ ↗
← S 79.404631°
E 44.000244°		 ← 56.16 m → S 79.404631°
E 44.002991°		 →
↑
56.13 m
↓
↑
56.13 m
↓
S 79.405136°
E 44.000244°		 ← 56.16 m →
3 152 m²		 S 79.405136°
E 44.002991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622226715087891 y=0.878490447998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622226715087891 × 217)
    floor (0.622226715087891 × 131072)
    floor (81556.5)     		tx = 81556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878490447998047 × 217)
    floor (0.878490447998047 × 131072)
    floor (115145.5)     		ty = 115145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81556 / 115145 ti = "17/81556/115145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81556/115145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81556 ÷ 217
    81556 ÷ 131072     		x = 0.622222900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115145 ÷ 217
    115145 ÷ 131072     		y = 0.878486633300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622222900390625 × 2 - 1) × π
    0.24444580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76794913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878486633300781 × 2 - 1) × π
    -0.756973266601562 × 3.1415926535     		Φ = -2.37810165325137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76794913} λ = 0.76794913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37810165325137))-π/2
    2×atan(0.0927264374670202)-π/2
    2×0.0924620402249051-π/2
    0.18492408044981-1.57079632675     		φ = -1.38587225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76794913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.000244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38587225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.404631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81556 KachelY 115145 0.76794913 -1.38587225 44.000244 -79.404631
    Oben rechts KachelX + 1 81557 KachelY 115145 0.76799707 -1.38587225 44.002991 -79.404631
    Unten links KachelX 81556 KachelY + 1 115146 0.76794913 -1.38588106 44.000244 -79.405136
    Unten rechts KachelX + 1 81557 KachelY + 1 115146 0.76799707 -1.38588106 44.002991 -79.405136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38587225--1.38588106) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dl = 56.1285099998103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38587225--1.38588106) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dr = 56.1285099998103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76794913-0.76799707) × cos(-1.38587225) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183871905327388 × 6371000     		do = 56.1592127497906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76794913-0.76799707) × cos(-1.38588106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183863245528871 × 6371000     		du = 56.1565678244202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38587225)-sin(-1.38588106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183871905327388-0.183863245528871)×R²
    abs(0.76799707-0.76794913)×8.65979851744081e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.65979851744081e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.65979851744081e-06×40589641000000     		ar = 3152.05870644728m²