Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81555 / 114896
↖ ↑ ↗
← S 79.278140°
E 43.997498°		 ← 56.81 m → S 79.278140°
E 44.000244°		 →
↑
56.83 m
↓
↑
56.83 m
↓
S 79.278651°
E 43.997498°		 ← 56.81 m →
3 228 m²		 S 79.278651°
E 44.000244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622219085693359 y=0.876590728759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622219085693359 × 217)
    floor (0.622219085693359 × 131072)
    floor (81555.5)     		tx = 81555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876590728759766 × 217)
    floor (0.876590728759766 × 131072)
    floor (114896.5)     		ty = 114896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81555 / 114896 ti = "17/81555/114896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81555/114896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81555 ÷ 217
    81555 ÷ 131072     		x = 0.622215270996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114896 ÷ 217
    114896 ÷ 131072     		y = 0.8765869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622215270996094 × 2 - 1) × π
    0.244430541992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.76790120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8765869140625 × 2 - 1) × π
    -0.753173828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36616536524597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76790120} λ = 0.76790120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36616536524597))-π/2
    2×atan(0.0938398788893245)-π/2
    2×0.0935658762347551-π/2
    0.18713175246951-1.57079632675     		φ = -1.38366457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76790120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.997498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38366457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.278140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81555 KachelY 114896 0.76790120 -1.38366457 43.997498 -79.278140
    Oben rechts KachelX + 1 81556 KachelY 114896 0.76794913 -1.38366457 44.000244 -79.278140
    Unten links KachelX 81555 KachelY + 1 114897 0.76790120 -1.38367349 43.997498 -79.278651
    Unten rechts KachelX + 1 81556 KachelY + 1 114897 0.76794913 -1.38367349 44.000244 -79.278651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38366457--1.38367349) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dl = 56.8293199997951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38366457--1.38367349) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dr = 56.8293199997951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76790120-0.76794913) × cos(-1.38366457) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186041495010273 × 6371000     		do = 56.8100085806066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76790120-0.76794913) × cos(-1.38367349) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186032730729229 × 6371000     		du = 56.8073323019555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38366457)-sin(-1.38367349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186041495010273-0.186032730729229)×R²
    abs(0.76794913-0.76790120)×8.76428104421012e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.76428104421012e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.76428104421012e-06×40589641000000     		ar = 3228.39811128216m²